安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（理）试题 含答案.doc

安徽省池州市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据集合和集合所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合集合表示满足的点的集合，即直线的图像，集合表示满足的点的集合，即直线的图像，所以表示两条直线的交点，解，得所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题.2已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】对复数进行化简，从而得到，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，则，在复平面内对应点为，在第二象限故选B.【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3如图所示，中，半圆O的直径在边BC上，且与边AB，AC都相切，若在内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O内）的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件得到半圆的半径，然后计算出的面积和半圆的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】如图所示，所以的面积，半圆O的面积，根据几何概型公式得：.故选：A.【点睛】本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题4将函数的图象向左平移后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，若的解析式为，则的解析式为（ ）ABCD【答案】C【解析】将横坐标压缩到原来的一半得到，再向右平移得到函数【详解】先将图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线，再将曲线上所有的点向右平移得到函数.故选：C.【点睛】本题考查根据三角函数的图像变换求变换前的解析式，属于简单题.5函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数解析式，得到，解出的取值范围，得到定义域.【详解】因为函数有意义，所以，解得所以解集为所以定义域为，故选：B.【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题.6已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ）AB2C3D4【答案】B【解析】先得到双曲线的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到和的关系，求出离心率，得到答案.【详解】双曲线的渐近线为因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径即，又因为整理得到，故双曲线C的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.7已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数转化为点与连线的斜率，从而求出其最大值.【详解】根据约束条件画出可行域，图中阴影部分为可行域，目标函数，表示可行域中点与连线的斜率，由图可知点与连线的斜率最大，故的最大值为，故选：C.【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.8如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）A最小长度为8B最小长度为C最大长度为8D最大长度为【答案】B【解析】设，得到，所求的篱笆长度为，根据基本不等式，得到最小值.【详解】设，因为矩形的面积为，所以，所以围成矩形所需要的篱笆长度为，当且仅当即时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.9若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件和二倍角公式，先计算出的值，再将所要求的，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.10若,则( )ABCD【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是，因此三者可化为的形式，该函数为上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：，令，则在上是单调增函数.又，所以即.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.11已知三棱锥中，为中点，平面，则下列说法中错误的是（ ）A若为的外心，则B若为等边三角形，则C当时，与平面所成角的范围为D当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.【详解】若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；当时，过作，连结，易知为与平面所成角，故的范围为，故C正确；取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.12已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（ ）A或B或C2D【答案】B【解析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据，得到为中点，得到与的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出点坐标，从而得到的斜率，得到答案.【详解】因为双曲线的离心率为，又，所以，所以双曲线渐近线为当点A在直线上，点B在直线上时，设，由及B是AF中点可知，分别代入直线方程，得，解得，所以，所以直线AB的斜率，由双曲线的对称性得，也成立.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.二、填空题13等腰直角三角形ABC中，则有_.【答案】-2.【解析】先求出，再根据向量数量积公式，求出的值，得到答案.【详解】等腰直角三角形ABC中，所以所以.故答案为：【点睛】本题考查计算向量的数量积，属于简单题.14的值为_.【答案】.【解析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.15数列的最大项所在的项数为_.【答案】11.【解析】，时，得到关于的不等式组，解得的范围，结合，得到的值，再与时进行比较，得到答案.【详解】令，当时，设为最大项，则即解得.而，所以又时，有，所以数列的最大项所在的项数为.故答案为：【点睛】本题考查求数列中的最大项，属于简单题.16已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，则球O的表面积为_.【答案】【解析】将三棱锥补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，边长分别为，则，所以，所以，则球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.三、解答题17已知等比数列各项均为正数，是数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）设等比数列公比，根据，得到关于的方程，解出，从而得到数列的通项公式；（2）写出的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以，因为各项均为正数解得（负值舍去），所以；（2）由已知得，所以为等差数列，所以.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题.18如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如图，设D为AC边上一点，求的面积.【答案】(1)，；(2).【解析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，求出的面积.【详解】（1）因为，所以在中，由正弦定理，得，因为，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理，所以；（2）在中，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，而所以，由，设，所以，所以，所以，因为，所以.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19如图，三棱锥D-ABC中，E，F分别为DB，AB的中点，且.（1）求证：平面平面ABC；（2）求二面角D-CE-F的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】（1）取的中点，可得，从而得到平面，得到，由，得到，从而得到平面，所以平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到，得到的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角的余弦值【详解】（1）如图取的中点，连接，因为，所以，因为，所以，又因为，所以平面，平面所以.因为，分别为，的中点，所以.因为，即，则.又因为，所以平面，又因为平面DAB，所以平面平面.（2）因为平面，则以为坐标原点，过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.因为，在中，所以.在中，所以点，.设平面的法向量为.所以，即，可取.设平面的法向量为.所以，即，可取，则因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.20高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中a，b，c成等差数列且.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值.【答案】（1）（分）；（2）75分；（3）见解析.【解析】（1）根据频率之和等于，a，b，c成等差数列，解出的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值.【详解】（1）根据频率分布直方图得，又因，解得，故数学成绩的平均分（分），（2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间，所以物理成绩的中位数为75分. （3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3. .所以分布列为：X0123P期望值为：.【点睛】本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.21已知函数，为的导函数.（1）求在处的切线方程；（2）求证：在上有且仅有两个零点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）对求导，得到，代入得到切线斜率，利用切点，点斜式写出切线方程，得到答案；（2）根据解析式，得到为偶函数，且，对求导，得到，判断出的正负，得到的单调性，结合，由零点存在定理得到在上有且仅有一个零点，从而得到在上有且仅有两个零点.【详解】（1），又，所以切点为.故在处的切线方程为； （2）因为为偶函数，且，则只需证明在上有且仅有一个零点即可.，当时，故在上单调递减，因为，由零点存在定理，可知存在使得，所以在上有且仅有一个零点，因此在上有且仅有两个零点.【点睛】本题考查通过导数的几何意义，求函数图像上在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和零点，零点存在定理，属于中档题.22已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证