第6讲一元二次函数的图象和性质.doc

第六讲 二次函数的图象和性质【趣题引路】 例 生产某商品xt需费用1000+5x+x2元,出售该商品xt时的价格是每吨a+元,其中a,b是常数,如果生产出的商品都能卖掉,并且当产量是150t时利润最大,这时的价格是每吨40元,求a,b的值.毛 解析 设卖出xt的利润是y元,则 y=x(a+)-(1000+5x+x2) =(-)x2+(a-5)x-1000. 又由题设知,当x=150时,y最大,因此 即 解得 a=45,b=-30. 当b=-30时, -0, 函数有最大值. a=45,b=-30为所求.点评 这是一个关于商品的利润问题,解决此类问题的关键是函数建模,使之转变为函数问题,利用一元二次函数的性质求解.二次函数的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等联系起来.【知识延伸】 例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是(8,0),顶点坐标是(6,-12),求这个二次函数的解析式. 解析 方法一:由题意可列方程组 解得a=3,b=-3b,c=96. 故函数解析式为y=3x2-36x+96; 方法二:设所求解析式为y=a(x-6)2-12. 又图象过(8,0), a(8-6)2-12=0, a=3, 故函数解析式为y=3x2-36x+96; 方法三:函数图象关于直线x=6对称,因此图象一定通过点(8,0)和点(4,0),即4,8是方程ax2+bx+c=0的两个根,因而二次函数可以写成y=a(x-4)(x-8). 又函数图象过(6,-12), a(6-4)(6-8)=-12. a=3. 故函数解析式为y=3x2-36x+96.点评 在求二次函数解析式时,若已知抛物线上任意三点,常设一般式:y=ax2+bx+c(a0);若已知顶点或对称轴,常设顶点式:y=a(x+m)2+n,其中(-m,n)为顶点;若已知抛物线与x轴交点的坐标时,常设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0). 例2 已知抛物线y=x2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴下方,(1)求证:已知抛物线与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),其中x1x2;(2)求证:x1x00,即0, 方程x2+px+q=0有两个实根,且不相等. 不妨设x1x2,抛物线与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0); (2)由韦达定理 又y0=x02+px0+q0, 即x02-(x1+x2)x0+x1x20, (x0-x1)(x0-x2)0, 即 x1x0x2-1, 得 或 解得 或点评 此题“”的求值较新颖,值得借鉴;第(3)问利用二次三项式的因式分解过渡自然.【好题妙解】佳题新题品味例 设抛物线y=ax2+bx+c开口向下,与x轴交于-1与3处,试判断下列关系式哪些是正确的?(1)abc0;(2)a+b+c=0;(3)a=-b;(4)3b=2c;(5)a-b+c0;(6)5a+b+c0;(7)c2b;(8)9a+3b+c=0. 解析 由开口向下知,a0. 由于抛物线与x轴交于x1=-1与x2=3处. y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. 即b=-2a,c=-3a.由此可知 abc=6a30表示(2)错;b=-2a表明(3)对;3b=-6a,2c=-6a表示(4)对;a-b+c=0表明(5)错;5a+b+c=0表明(6)错;c-2b=a0,(7)错;9a+3b+c=0,(8)对.中考真题欣赏 例 (2003年北京市中考题)已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴一个交点为A(-1,0). (1)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标; (2)D是抛物线与y轴交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线解析式; (3)E是第二象限内到x轴,y轴的距离之比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在抛物线对称轴同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)由已知,-1为方程ax2+4ax+t=0的一根,设另一根为x2,则-1+x2=- =-4 x2=-3, 即抛物线与x轴另一交点为(-3,0); (2)由(1)知(-1)x2= t=3a. 则抛物线解析式为y=ax2+4ax+3a, D为(0,3a). 又ABCD C为(-4,3a), AB=2,CD=4,梯形高为3a. 9= .3a,求得a=1. 故所求抛物线为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3; (3)设E(x0,y0)则y0= -x0(x00). (i)若a=-1,则y0=-x02-4x0-3即-x0=-x02-4x0-3, 而此方程无实根; (ii)若a=1,则y0=x02+4x0+3,解方程-x0=x02+4x0+3,得x01=-,x02=-6(舍去). E(-,) AE长度一定,只须PA+AE最小. 又点A关于x=-2的对称点为B(-3,0), PA+PE=PB+PEBE. P为BE与x=-2的交点时满足题设要求. 不难求得BE解析式为y=x+, 令x=-2,得y=, P(-2, ). 即存在这样的点P(-2, )满足(3)要求.点评 本题难点在(3),关键是将APE周长最小的条件转化为B、P、E三点共线,从而求点P.竞赛样题展示 例1 (1997年陕西数学竞赛题)若二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c的值的变化范围是( ) A.0S1 B.0S2 C.1S2 D.-1S0,又a=b-1, -0,即2b(b-1)0. 0b1,即0S2. 选B.点评 本题只给出两点,不能求出a、b、c具体的值，只能求出a、b、c之间的关系，据此再求的取值范围. 例2 (1993年江苏初中数学竞赛试题)已知是两位数,二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点,这两点间距离不超过2. (1)求证:0m2-4n4; (2)求出所有这样的两位数.解析 (1)设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),x1x2,则x1,x2为方程x2+mx+n=0的两个不同实根. x1+x2=-m,x1x2=n. 又0x1-x22 即0(x1+x2)2-4x1x24, 也即00 B.a+b+c0 C.a20,即m2时,抛物线与y轴交于x轴上方; 当m-20,即m2时,抛物线与y轴交于x轴下方; 当m-2=0,即m=2时,抛物线过原点.6.DB卷1.设一元二次方程x2+bx+c=0的两根为98,99,在二次函数y=x2+bx+c中,若x取0,1,2,100,曲 则y的值能被6整除的个数是( ) A.33 B.34 C.65 D.672.二次函数y=a2x2-4x+1有最小值-1,则a的值是( ). A. B.- C. D.23.如图,已知抛物线y=x2+(k+)x+(k+1)(k为常数),与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x10x2)两点,与y轴交于C点,且满足(OA+OB)2=OC2+16. (1)求此抛物线解析式; (2)设M、N是抛物线在x轴上方的两点,且与x轴的距离均为1,点P是抛物线顶点,问:过M、N、C三点的圆与直线CP是否只有一个公共点C?试证明你的结论.4.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),与y轴交于点E(0,-1). (1)求此二次函数的解析式; (2)若点Q(m,n)在此抛物线上,且-3m3,求n的取值范围; (3)设点B是此抛物线与x轴的另一个交点,P是抛物线上异于点B的一个动点,连结BP交y轴于点N(点N在点E的上方),若AOEBON,求点P的坐标.5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是C,它与x轴有两个不相同的交点A和B. (1)若点C的横坐标是3,A,B两点的距离是8,求方程ax2-(6a-b)x+9a-3b+c=0的根; (2)若点C到x轴的距离等于A、B两点距离的k倍,求证:b2-4ac=16k2. B卷答案1.D 由已知可得b=-197,c=9899,则y=x2-197x+9899=x(x+1)-198x+9899.要使6|y,则6|x(x+1).又2|x(x+1),只须3|x(x+1),则3|x或3|x+1.当3|x时，共有+1=34个，当3|x+1时，共有=33个。故67个，选D.2.C由题意得a20,且=-1，解得a=.3.(1)(OA+OB)2=OC2+16,(-x1+x2)2=OC2+16,4(k+)2-42(k+1)=(k+1)2+16,得k1=-2,k2=4.x10x2,x1x2=2(k+1)0,即k-1,k=-2,抛物线为y=x2-x-1. (2)过M,N,C三点的圆与直线CP只有一个公共点C.如图4所示抛物线上的点M,N在x轴上方,且到x轴距离均为1,设MN交y轴于点E,M(-1,1),N(4,1),且C(0,-1),P(,),在RtMEC中,MC2=5.同理NC2=20,又MN2=25,MN2=MC2+NC2,MCN=90,故MN是过M,N,C三点圆的直径,圆心D(,1),作CFDP于F,连结CD,则CFDE为矩形,FD=CE=2,CF=ED=.又PF= ,在RtCFP中,CP2=CF2+PF2=()2+()2=.在CDP中,DP2-CD2=()2-()2=CP2 .即DP2=CD2+CP2,CPCD,直线CP与D相切于点C.故直线CP和过M,N,C三点的圆只有一个公共点C.4.(1)y=x2+x-1; (2)-n4;(3)求出B点的坐标为B(1,0),E(0,-1),由AOEBON得,ON=,则N(0, )或N(0,- ).求出直线BN的解析式为y=-x+.BN的解析式为y=x-.由此求得P为抛物线与直线BN的交点或BN的交点,则 或 解得P(-4, )或P(-2,-1).5.设二次函数y=ax2+bx