81代数作业第6章详细解答.doc

第六章 线性空间与线性变换(作业1) -定义性质，维数基坐标一.简答题1.设，问W是否为向量空间？为什么？答案:是.因为W关于向量的线性运算封闭。2.设，问W是否为向量空间？为什么？答案: 不是，因为W对于向量的线性运算不封闭。二 填空题1.设S2为主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体，R为S2的维数，则R=_ .答案: 32.令,则W是R22的一个子空间,W的一个基是_.答案: 3. 设R4的子空间W=(a,b,ab,a+b)|a,bR，求子空间W的一个基与维数。答案: 取a=1，b=0得到1=(1,0,1,1)，取a=0，b=1得到2=(0,1,1,1)则得到W的一个基1,2,所以dim(W)=2.三.计算题1.在数域P上所有2阶矩阵构成的线性空间P22中,求矩阵在基:下的坐标。答案: 设 得它有唯一解:故A在给定基下的坐标是:2. 在Px2中,求在基：下的坐标.答案: 设 得,即它有唯一解 故在所给基下的坐标为: 3.在R4中,求在基，下的坐标.答案: 设 得到，解该线性方程组，得到唯一解，所以在给定基下的坐标为.第六章 线性空间与线性变换(作业2) 基变换与坐标变换一.填空题1.设a1, a2, a3和b1, b2, b3是线性空间V的两个基，且b1=a1+2a2+ 3a3 ,b2=2a1+2a2+4a3, b3=3a1+a2+3a3. 则从基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过度矩阵为（ ）；从基b1, b2, b3到基a1, a2, a3的过度矩阵为（ ）.答案：由(b1, b2, b3) = (a1, a2, a3)P. 则P=所以填空：由(b1, b2, b3)P -1 = (a1, a2, a3). 则P -1=所以填空： 2.在Px3中取两个基: ()a1=x3+2x2x, a2=x3x2+x+1, a3=x3+2x2+x+1,a4=x3x2+1,及()b1=2x3+ x2+1, b2= x2+2x+2, b3=2x3+ x2+x+2, b4=x3+3x2+x+2,则由基()到基()的过渡矩阵是_. 解答过程：(a1, a2, a3, a4) = (x3, x2, x, 1) A, (b1, b2, b3, b4) = (x3, x2, x, 1) B.其中 (b1, b2, b3, b4) = (a1, a2, a3, a4)A-1B. 则过渡矩阵P= A-1B.=3.设3维向量x在基(a1, a2, a3)下的坐标为(1,2,1)T,则在基(a1+a2, a1+a2+a3, a1a2)下的坐标为_. 答案：(,1,)(b1, b2, b3) = (a1, a2, a3)A，则A =就是从基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过度矩阵，= #4.设R3的两组基:(),(),则由基()到基()的过渡矩阵是( ).答案:解答过程：(a1, a2, a3) = (e1, e2, e3) A, 且(b1, b2, b3) = (e1, e2, e3) B.A=，B=，(b1, b2, b3) = (a1, a2, a3)A-1B.(A|B)所以过渡矩阵P= A-1B =. 经过验证结果很正确!二.计算题:1.已知4维向量空间R4的两个基:且向量在基()下的坐标为(0,3,1,1). 求(1)由基()到基()的过渡矩阵. (2)求向量在基()下的坐标.解答: (1)其中 （2）求,则有 #.2.证明1, x1, ( x2)( x1)是Px3的一组基,并且求向量1+x+x2在这个基下的坐标.答案:提示: 只要证明 1, x1, (x2)(x1)线性无关, 1+x+x2在给定基下的坐标为,即1+x+x2=3+4(x1)+(x2)(x1).(1)(1,1-x,2-3x+x2)=(1,x,x2)P=(1,x,x2),|P|=10,P可逆,所以向量组(1,1x,23x+x2)与向量组(1,x,x2)等价. 因为(1,x,x2)是Px3的一组基,所以1, x1, (x2)(x1)也是Px3的一组基.(2)设1+x+x2=k1+k2(x1)+k3(23x+x2)=(k1k2+2k3)1+(k23k3)x+ k3x2得方程组 (k1k2+2k3)=1, (k23k3)=1, k3=1, 解方程组得到k1=3, k2=4, k3=1.所以向量1+x+x2在给定基下的坐标为(3,4,1),即1+x+x2=3+4(x1)+(x2)(x1).3.在R4中取两个基 (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;(2)求向量在后一个基下的坐标;(3)求在两个基下有相同坐标的向量.答案: (1)由题意知 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为(2)设向量在后一个基下的坐标为则有= 即，故 =(3)由(2)知 ，解方程组得(k为常数).4.设V是3维向量空间, 1,2,3是V的一个基,，(1)求基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵.(2)求关于基a1, a2, a3的坐标.答案:(1)过渡矩阵为. (2)关于基的坐标为.解: 把上述关系式写成(a1,a2,a3)=(h1,h2,h3), (b1,b2,b3)=(h1,h2,h3), (1) 由前式得, (h1,h2,h3)=(a1,a2,a3),代入后式得, (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3),所以从a1,a2,a3到b1,b2,b3的过渡矩阵为.(2)已经知道g 关于基h1, h2, h3的坐标是(1,2,3)T, 从h1, h2, h3到a1, a2, a3的坐标变换公式得到g 关于基a1,a2,a3的坐标为.因为.第六章 线性空间与线性变换(作业3)- 线性变换，矩阵表示一.填空1.设向量空间V有两个基:():; ():且由()到()的过渡矩阵为C,如果V的线性变换T在基()下的矩阵为A,则T在基()下的矩阵为_.答案:根据定理,线性变换在不同基下的矩阵相似,所以T在基()下的矩阵B=,其中相似变换矩阵就两个基之间的过渡矩阵C.所以填空: .2.设T是3维线性空间V3的线性变换,设a1=(3,2,1)T, a2=(0,1,1)T, a3=(0,1,1)T是V3的基，线性变换T为T(3,2,1)T=(0,0,2)T, T(0,1,1)T=(1,1,1)T, T(2,0,1)T=(1,0,1)T,则T在该基下的矩阵A=_ .答案: T(a1, a2, a3)= (Ta1, Ta2, Ta3)=( a1, a2, a3)A, 即,.解矩阵方程，得到A=就是T在该基下的矩阵A.3.设是向量空间V的基,V的线性变换T在此基下的矩阵为,则T的象空间的基_解: 由条件知: T(e1, e2, e3, e4)=(e1, e2, e3, e4)A,T的象空间T(V)是由T(e1),T(e2),T(e3),T(e4)生成的子空间, T(V)的基为向量组T(e1),T(e2),T(e3),T(e4)的最大无关组.，所以R(A)=2, 且A的前两列线性无关,所以T的象空间T(V)的基为e1e2+e3+2e4, 2e2+2e32e4.二.选择题:设T是R3R3的线性变换，T在基a1, a2, a3下矩阵为,则T在该基a3，a2, a1下的矩阵为_ .(A) ; (B) ; (C) AT; (D)A1.答案: (B)将A的第1列与第3列交换，同时将A的第1行与第3行交换，得到(B).三.计算题:1.设线性变换T(x)=Ax(xR4),其中求(1)T的象空间的维数和基; (2) T的核ST的维数和基.解答: (1)T的象空间就是A=(a1, a2, a3, a4)生成的线性空间T(R4)=y=x1a1+ x2a2 + x3a3 + x4a4 | x1, x2, x3, x4R问题成为求向量组的秩和最大无关组T的象空间的维数是3, 基是a1, a2, a3.(2) T的核ST该就是齐次线性方程组Ax=0的解空间. 维数=n-r=4-3=1,基就是方程组Ax=0的基础解系, 所以就是T的核ST的基.#2.设a1=(1,2)T, a2=(1,1)T, b1=(2,4)T,b2=(4,5)T,设R2上的线性变换T(x)=Ax,使得T(a1)=b1, T(a2)=b2. (1)求T在基a1,a2下的矩阵; (2)已知向量在基a1,a2下的坐标(2,3)T, 求T()在a1,a2下的坐标.解答：(1)A(a1,a2)=(b1,b2),设(b1,b2)=(a1,a2)B,则B就是所求T在基a1,a2下的矩阵.B=(a1,a2)1(b1,b2)= =(2) 由A(a1,a2)=(b1,b2),得到A=(b1,b2)(a1,a2)1=，=2a1+3a2=(1,1)T, T()=,设(8,7)T=x1a1+x2a2,设=， 解得x1=1，x2=9. 所以T()=a1+9a2.3.设R2的线性变换T为:对于.求T在的基下的矩阵.解：R2的线性变换T为，其中先将在T下的象求出，再将仍然用这个基表示，则表示矩阵就是所求. ，则B就是T在的基下的矩阵.，答案:所求矩阵 #4.在R3在中取两组基a1=(1,0,2)T, a2=(0,1,2)T, a3=(1,2,5)T和1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T, 3=(0,1,2)T.定义线性变换s : s(a1)=(2,0,1)T, s(a2)=(0,0,1)T, s(a3)=(0,1,2)T.求s在基1, 2, 3下的矩阵.解: 取R3的另一个基e1, e2, e3. 则(a1, a2, a3)=(e1, e2, e3)A, (1, 2, 3)=(e1, e2, e3)B,s(a1, a2, a3)=(e1, e2, e3)C,其中A=, B=, C=.由于(e1, e2, e3)=(a1, a2, a3)A-1, (e1, e2, e3)=(1, 2, 3)B-1,s(1, 2, 3)=s(e1, e2, e3)B=s(a1, a2, a3)A-1B=(e1, e2, e3)CA-1B =(1, 2, 3)B-1CA-1B线性变换s在基1, 2, 3下的矩阵为:B-1CA