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第八章离散信号付里叶变换 8 1引言8 2离散周期信号的付里叶级数8 3离散信号的离散时间付里叶变换DTFT8 4从连续付里叶变换出发看离散时间付里叶变换8 5离散付里叶变换DFT及快速付里叶变换FFT8 6总结 8 1引言 随着计算机在信息处理领域的应用 人们开始深入离散付里叶变换DFT离散付里叶变换DFT存在效率问题 后又衍生出快速付里叶变换FFT以离散付里叶变换为基础 出于信息压缩的需要 出现了离散余弦变换DCT离散付里叶变换可以看成是连续付里叶变换的一种推广 8 2离散周期信号的付里叶级数 1 离散周期信号的付里叶级数的倍频信号 2 引理 3 离散周期信号的付里叶级数 8 3离散信号的离散时间付里叶变换DTFT 1 离散时间付里叶变换的概念 2 离散时间付里叶变换举例 时域波形 频域幅度谱 频域相位谱 例1 时域波形 频谱 例2 3 离散时间付里叶变换的性质 线性 时移 频移 差分 频域微分 4 周期离散信号的离散时间付里叶变换 例1 例2 幅度谱 相位谱 8 4从连续付里叶变换出发看离散时间付里叶变换 1 正变换 对离散信号x n 可以看成是用周期为Ts的连续采样信号 T t 对某连续信号x t 进行采样 即乘积 从频谱上看 离散信号的离散时间付里叶变换应是 T w 与X w 的卷积 而乘积后的频谱为两信号频谱的卷积并除以2 如下图 不防设x t 具有如下频谱 则卷积后x n 的频谱为 如果令采样间隔为1 则卷积后x n 的连续付里叶频谱如图 可见x n 的连续频谱X1 w 等于离散频谱X 连续的理论与离散的理论实际上是统一的 问题 如果采样的周期不为1会怎样 可见 当采样间隔Ts不为1时 x n 离散付里叶变换的频谱X 是其连续付里叶频谱X1 w 在频率轴上做伸缩后的结果 也就意味着 离散付里叶变换得到的 频率坐标对应连续频率轴上的坐标为 w Ts 另外 频率对应的是采样前连续信号x t 即离散信号x n 的包络 的高频点 频率值为 Ts 这是因为X 是以2 为周期的函数 X 从 到2 的部分与X 从 到0的频谱是相同的 图例 X t t 连续付里叶变换 X w w X n t X1 w w 连续付里叶变换 采样间隔为2 2 2 X n t 离散付里叶变换 采样间隔为2 X X1 2 2 2 反变换 上面得到的就是离散时间付里叶变换的反变换 可见从反变换方面 离散时间付里叶变换与连续付里叶变换的理论也是统一的 8 5离散付里叶变换DFT及快速付里叶变换FFT 1 频域离散化 由此可以看出 对离散周期 周期为N 信号而言 对其付里叶变换在频域内的频谱只需要记N个频点的值即可 那么对非周期离散信号呢 要想将离散非周期 时域有限 信号的频谱离散化 方法有一个 做周期延拓 如下图 例如 2 1 0 1 2 n 周期延拓 2 DFT 3 FFT及蝶形算法 DFT尽管解决了频域离散化的问题 但运算量很大 后来发明了蝶形算法 用来计算DFT 此方法又被称为快速付里叶变换FFT 用图解表示如下 N 2点的DFTn为偶数 N 2点的DFTn为奇数 G 0 G 1 H 0 H 1 x 0 x 2 x 1 x 3 X 0 X 1 X 2 X 3 下图被称为一个蝶形运算单元 G 0 H 0 X 0 X 2 画成图如下 x 0 x 2 x 1 x 3 x 4 x 6 x 5 x 7 GG1 0 GH1 0 HG1 0 HH1 0 GG1 1 GH1 1 HG1 1 HH1 1 G2 0 G2 2 H1 0 H1 2 G2 1 G2 3 H1 1 H1 3 X 0 X 2 X 4 X 6 X 1 X 3 X 5 X 7 算法总结 从概念上讲 N点FFT一次分解成2个N 2点的FFT 对这两个N 2点的FFT可以分别再分解成两个N 4点的FFT 直到最终的FFT点数为2点 这就是FFT的核心 8 6总结 离散周期信号的付里叶级数 与连续周期信号不同 离散周期信号的付里叶级数不是无限项 而是有限项 项数等于离散周期信号的周期N 从离散周期信号的付里叶级数出发 推导离散非周期信号 周期信号的离散时间付里叶变换DTFT以及反变换 离散信号的离散时间付里叶变换DTFT的特点是周期性 其周期为2 其反变换也是在2 周期内积分 连续信号采样的原理验证了连续付里叶变换和离散付里叶变换的统一性 当采样间隔为1时 连续信号采样的连续付里叶变换实际上就是连续信号采样的离散时间付里叶DTFT变换 而当采样间隔Ts不为1时 离散付里叶变换是连续付里叶变换经过伸缩后的结果 离散付里叶变换DFT及快速付里叶变换FFT FFT是DFT的快速算法 对原信号做周期拓展可使其变成周期信号 DFT实际上是该周期信号的离散时间付里叶变换DTFT 不过只取了一个周期 DFT从数值上讲是对原信号的离散时间付里叶变换 DTFT