9矩阵代数式(文库).doc

矩阵代数式计算矩阵代数式与代数式计算法则不同(用矩阵代替实数)。 1矩阵基本运算1矩阵加法从两个矩阵加到每一个对应元素加法。元素之间的加法互相不影响，所以遵守实数加的一切规律。.1加法零元 .2逆元 ，称B为 A的加法逆元.3交换律 .4结合律 2矩阵数乘每个元素数量乘相同的数。数量乘法式集合。.5数乘不变元 .6交换律.7结合律 说明：因为是数乘，所以只能在数的计算上符合结合律，而不出现矩阵乘法。 .8数乘对矩阵加法的分配律 .9数加对矩阵数乘的分配律 说明：矩阵加法与数乘称为矩阵线性运算，并且符合交换，结合，分配律。从加法逆元与数乘可得，矩阵减法.10 3矩阵乘法不满足交换律,矩阵乘法分为左乘右乘。.11乘法不变元.12矩阵乘法结合律 .13数乘的结合律.14矩阵乘法对加法的左乘分配律：.15矩阵乘法对加法的右乘分配律：说明：1)分配律在异号间，不存在不同阶同号间。2) 根据多项式等式有 .16 .17 .18 2),且A不是对称阵，则B是数量阵（不是对角阵）。3)是A的行矩阵和B的列矩阵相乘，是B的行矩阵和A的列矩阵相乘.因此如果A,B的行向量和列向量都相等，那么。 4) 矩阵代数式与等式仍可使用移项，合并同类项等计算方法。 5)向量可看作单行矩阵：4矩阵的转置(行作用与列作用交换).19与A的关系：.20转置与加法的关系：.21转置与数乘的关系： .22转置与乘法的关系：说明：，称为对称矩阵。.23 对称矩阵。5方阵的幂 .24(m,n非负数) .25 . 说明：1涉及实数加，实数乘的计算都可交换。 .26矩阵多项式乘法可交换 x的m次多项式:若A为n阶矩阵用A代替变量x，则有称为矩阵的m次多项式(以矩阵A为自变量的多项式)。 说明：1矩阵也有类似向量的线性组合式，矩阵的线性组合式是一类复合运算。矩阵的多项式是另一类复合运算。但是向量没有多项式，所以只有正方形（立方体）一类的数据结构（矩阵正方形，一个数）有多项式计算。2矩阵幂的复合计算遵守实数代数式法则。但是，所以有些式子不能直接使用结果。在代数式里，矩阵可视为一个数看，因此矩阵具有整体数量性。可用行列式计算。2矩阵求逆与矩阵的数量二行列式行列式不能看作矩阵的行列式计算，应该看成排列的（有顺序的，用顺序决定符号）计算式。行列式的表示是简化表示。行列式的值是一个数。求解行列式有四类方法。1低阶用定义。2特殊矩阵的行列式，用特殊计算方法。3行列式展开定理。 4利用矩阵的性质化简再计算行列式。行列式的计算性质可在24中使用。方法2.27上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。.28副对角线行列式,增加符号:.定理行列式的性质1行列互换,行列式的值不变.用矩阵计算表示:.2互换行列式的两行(或两列),行列式的值反号(序列的符号).-1推论1：有两行（列）相同的行列式值为0。3行列式,某一行(列)的所有元素都乘以数k,等于k乘以此行列式(定义).-2推论1：有一行（列）元素为0，则行（列）式为0。推论2 如果行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式值为0.（元素顺序变化影响正负号）4如果行列式的某一行(列)的所有元素是两个元素之和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别对应两个相加元素之一,其余各行(列)的元素与原行列式相同.(定义)5把行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变.-3(3个矩阵初等变换的行列式)说明:1行列式0,不仅仅是数量0,还有分布导致的数量0.所以,这个0行列式，可有不同的形式，可以是A中任意相等的两行，或者有一行全部为0。数量0可有不同的形式。2某一个行(列)就是全部数列项的同一个位置上的数,尽管没有列出式子,对计算式的全部式子有了解,但是集中考虑这一行(列)的数就能知道这一行(列)对计算结果的影响.方法2.29范德蒙行列式(n1);.30三角矩阵的加法行列式方法4(方阵有行列式).30,.31.32分块矩阵的行列式:伴随矩阵与逆矩阵定义式：两个级别1矩阵结构的逆，称为伴随矩阵2矩阵数量的逆求逆矩阵的方法1低阶:伴随矩阵,当年n=2时,有.2特殊矩阵,.3逆矩阵的计算性质，,4分块求逆:若A能分块为以下类型之一时: 5初等矩阵变换法(n2)即3矩阵的线性变换等价变换可逆矩阵的等价变换一个n阶可逆矩阵A，它一定可以经过一系列的行初等变换化成单位矩阵，用矩阵表示：即：，A是一系列矩阵的连乘积。合同变换定义式：方针A，B合同，存在可逆矩阵C，使 实对称矩阵A正定的充要条件：存在可逆矩阵C，使说明：正定的实对称矩阵。 4矩阵的相似变换矩阵的相似变换（两端）定义式：常量矩阵(如同没有运算一样,保持不变.相似变换对数量矩阵没有影响.)A的复合表示形式的相似变换：.1线性计算式：.2矩阵乘法式：相似变换符合对矩阵线性计算与乘法的分配律相似矩阵的性质.1数量性：矩阵相似性与行列式计算矩阵相似性与行列式计算相似矩阵的特征值相同相似矩阵的迹相同.2秩：相似矩阵（等价）的秩相同。.3伴随矩阵集：（可逆矩阵等式两端可直接求逆）.4矩阵计算与常量矩阵加法运算的相似不变性 幂的相似不变性 .5构造 分块矩阵 主要是特征向量的矩阵构造顺序（？）说明： ，但是不成立。 相似矩阵的特征值相同，但是特征向量不同。 实际上，矩阵的相似变换是通过特征向量之间的可逆变换实现的。划分相似集，不一定每一个集合都有对角矩阵。因此不一定能都相似一个对角矩阵。相似性与行列式(为特征值) 说明：1.a0在每个式子里。2.集合的形式，但是算式之间存在乘法关系.结构计算的表示方法。乘法集合形式。5特殊矩阵实对称矩阵与对角阵的相似变换定义式：定义式：，A是实对称矩阵。定理 实对称矩阵的性质.1伴随集合：仍然是实对称矩阵,同理。.2矩阵计算：对称矩阵之间的数乘和加法计算结果仍然是对称矩阵，。.3矩阵与转置矩阵的乘法结果是对称矩阵：，。所以，对称矩阵都是方阵。实对称矩阵都有n个特征值么？定理 实对称矩阵的正交相似性任意一个实对称矩阵，一定相似正交与一个实对角矩阵。即存在一个正交矩阵T，使得说明：是T的特征值构成的对角形矩阵。定理 实对称矩阵的正定性实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵C，使定理 实对称矩阵正定的充要条件.