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工程弹塑性力学 浙江大学建筑工程学院 1 第六章屈服条件和加载条件 6 1基本假设6 2屈服条件概念6 3屈服曲面6 4Tresca和Mises屈服条件6 5Tresca和Mises屈服条件的比较6 6屈服条件的实验验证6 7加载条件和加载曲面6 8Mohr Coulomb和Drucker Prager屈服条件 2 6 1基本假定 对一般应力状态的塑性理论 作以下基本假设 忽略时间因素的影响 蠕变 应力松弛等 连续性假设 静水压力部分只产生弹性的体积变化 不影响塑性变形规律 在初次加载时 单向拉伸和压缩的应力 应变特性一致 材料特性符合Drucker公设 只考虑稳定材料 变形规律符合均匀应力应变的实验结果 3 1 单向拉压应力状态的屈服条件 6 2屈服条件的概念 6 1 6 2 ss 屈服应力 2 复杂应力状态的屈服函数 6 3 或者 6 4 应力空间 应变空间 分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间 空间内的任一点代表一个应力状态或应变状态 应力路径 应变路径 应力和应变的变化在相应空间绘出的曲线 屈服面 应力空间内各屈服点连接成的 区分弹性和塑性状态的分界面 引入的概念 4 6 2屈服条件的概念 3 屈服条件 屈服函数 描述屈服面的数学表达式 材料处于弹性状态 材料开始屈服进入塑性状态 屈服条件应与方向无关 故屈服条件可用三个主应力或应力不变量表示 6 6 6 7 静水压力部分对塑性变形的影响可忽略 故屈服条件也可用主偏量应力或其不变量表示 各向同性材料 6 8 6 9 5 6 3屈服曲面 一 主应力空间 6 10 以主应力s1 s2 s3为坐标轴而构成的应力空间 主应力空间 L直线 p平面 与s1 s2 s3轴的夹角相等 在主应力空间内 过原点且和三个坐标轴夹角相等的直线 方程 s1 s2 s3 L直线 主应力空间内过原点且和L直线垂直的平面 方程 s1 s2 s3 0 p平面 总在 平面上 6 6 3屈服曲面 一 主应力空间 即直线方程 1 球应力状态或静水应力状态 几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹 应力偏量为零 即 它的轨迹是经过坐标原点并与 l 2 3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线 2 平均应力为零 平均应力为零 即 m 0 应力偏量Sij不等于零 3 应力偏量为常量 应力偏量为常量 即Sl C1 S2 C2 S3 C3 轨迹是与等倾线平行但不经过坐标原点的直线 在主应力空间中 它的轨迹是一个平面 该平面通过坐标原点并与等倾直线相垂直 7 6 3屈服曲面 二 屈服曲面 屈服曲面F s1 s2 s3 0 为一平行L直线的柱面 屈服曲线f J2 J3 0 屈服曲面与p平面的交线 对应无静水压力部分的情况 8 6 3屈服曲面 三 矢量OP在p平面上的投影 坐标轴s1 s2 s3在p平面上的投影O1 O2 O3 互成120 矢量OP在p平面上的x y坐标值为 矢量OP在p平面上的极坐标值为 6 13 6 14 6 15 9 6 3屈服曲面 由于12矢量与 平面平行 故 矢量OP在x y平面上的坐标为 6 13 坐标变换 10 6 3屈服曲面 引进极坐标的关系 可见Lode参数为 6 14 6 15 6 16 11 6 3屈服曲面 几种典型应力状态在p平面上的极坐标值 6 17 在纯剪切时 在单向拉伸时 在单向压缩时 12 6 3屈服曲面 四 屈服曲面的特征 p平面上的屈服曲线 1 屈服曲线为一封闭曲线 原点在曲线内部 2 对各向同性材料 若 S1 S2 S3 或 s1 s2 s3 屈服 则各应力分量互换也会屈服 故屈服曲线关于s1 s2 s3 轴均对称 3 对拉伸和压缩屈服极限相等的材料 若应力状态 S1 S2 S3 屈服 则 S1 S2 S3 也会屈服 故屈服曲线为关于垂直于s1 s2 s3 轴的直线也对称 13 6 4Tresca和Mises屈服条件 历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设 第一个假设 材料进入塑性状态是由最大主应力引起的 即当最大主应力达到 s时 材料即进入塑性状态 GalilMo在17世纪时提出 在各向相等压缩时 压应力可以远远超过屈服极限 s 而材料并未进入塑性状态 也未破坏 被实验所推翻 原因 第二个假设 最大的主应变能使材料进入塑性状态 St Venant提出 被实验所推翻 第三个假设 Beltrami提出 当最大弹性能达到一定值时 材料即开始屈服 与实验相抵触 14 6 4Tresca和Mises屈服条件 一 Tresca屈服条件 认为最大剪应力达到极限值时开始屈服 6 18 材料力学的第三强度理论 金属材料在屈服时 可以看到接近于最大剪应力方向的细痕纹 滑移线 因此塑性变形可以是由于剪切应力所引起的晶体网格的滑移而引起的 1864年 Tresca作了一系列的挤压实验来研究屈服条件 四个强度理论 第一强度理论 最大拉应力理论 第二强度理论 最大伸长线应变理论 第三强度理论 最大剪应力理论 第四强度理论 形状改变比能理论 屈服破坏理论 脆断破坏理论 15 6 4Tresca和Mises屈服条件 一 Tresca屈服条件 p平面上的屈服曲线 在p平面上 式 6 18 可表示为 在 30 qs 30 即s1 s2 s3 范围内为一平行y轴的直线 对称拓展后为一正六角形 p平面上的屈服曲线 正六角形 16 6 4Tresca和Mises屈服条件 一 Tresca屈服条件 正六边形柱面 主应力空间内的屈服条件 平面应力状态的屈服条件 s3 0 6 19 6 20 平面应力的Tresca屈服线 17 6 4Tresca和Mises屈服条件 一 Tresca屈服条件 常数K值的确定 6 23 Tresca屈服条件的完整表达式 由简单拉伸实验确定 因s1 ss s2 s3 0 s1 s3 0 故 由纯剪实验确定 因s1 ts s2 0 s3 ts 故 k ss 2 k ts ss 2ts 对多数材料只能近似成立 6 24 6 25 18 6 4Tresca和Mises屈服条件 二 Mises屈服条件 6 27 Tresca六边形的六个顶点由实验得到 但顶点间的直线是假设的 Mises指出 用连接p平面上的Tresca六边形的六个顶点的圆来代替原来的六边形 即 Mises屈服条件 6 26 Mises屈服面 考虑 6 14 式 19 6 4Tresca和Mises屈服条件 二 Mises屈服条件 常数C的确定 6 28 由简单拉伸实验确定 因s1 ss s2 s3 0 s1 s3 0 故 由纯剪实验确定 因s1 ts s2 0 s3 ts 故 C J2 ss2 3 C J2 ts2 对多数材料符合较好 20 6 4Tresca和Mises屈服条件 二 Mises屈服条件 两种屈服条件的关系 6 29 Tresca和Mises屈服线 若规定简单拉伸时两种屈服条件重合 则Tresca六边形内接于Mises圆 且 若规定纯剪时两种屈服条件重合 则Tresca六边形外接于Mises圆 且 6 30 21 6 4Tresca和Mises屈服条件 二 Mises屈服条件 两种屈服条件的关系 6 31 平面应力问题的Tresca和Mises屈服线 主应力平面上 在主应力空间中 Mises屈服面将是圆柱面 在 3 0的平面应力情形 Mises屈服条件可写成 Tresca屈服条件内接于Mises圆 从Mises屈服条件可以看出 静水压力状态并不影响材料屈服 而且满足互换原则 因此与实验相符 22 6 5Tresca和Mises屈服条件的比较 一 简单应力状态下的比较 单向拉伸 6 36 Tresca条件 Tresca屈服条件 是基于某种韧性金属的最大剪应力达到一定值时 材料开始进入塑性状态 也就是说只有最大和最小的主应力对屈服有影响 忽略了中间主应力对屈服的影响 6 37 纯剪切 6 38 Tresca条件 6 39 简单拉伸和纯剪时最大剪应力为同样的数值 23 6 5Tresca和Mises屈服条件的比较 一 简单应力状态下的比较 单向拉伸 6 41 Mises屈服条件 6 40 纯剪切 6 43 6 44 基于某种金属屈服时 6 42 简单拉伸和纯剪时最大剪应力的数值不同 24 6 5Tresca和Mises屈服条件的比较 一 简单应力状态下的比较 单向拉伸 6 41 纯剪时比较两个剪应力 6 47 两个条件的计算结果相差不大 Tresca条件 6 45 Mises条件 6 46 25 6 5Tresca和Mises屈服条件的比较 一 简单应力状态下的比较 纯剪时 按最大剪切应力条件计算 按形变能量条件计算 Mises条件与Tresca条件的比较 26 6 5Tresca和Mises屈服条件的比较 二 屈服曲面的比较 垂直于轴线的平面与屈服面相交 Mises条件与Tresca条件的比较 6 48 Tresca条件是正六边形 27 6 5Tresca和Mises屈服条件的比较 平面应力状态塑性条件的图形表示 B点和E点 表示二向等拉或等压的应力状态 A C D F点 表示单向应力状态 按最大剪切应力条件计算 按形变能量条件计算 二 屈服曲面的比较 28 6 6屈服条件的实验验证 一 薄壁圆管受拉力P和内压力p作用 设圆筒壁厚为t 平均半径为r t r Lode参数 Mises屈服条件 6 49 29 6 6屈服条件的实验验证 一 薄壁圆管受拉力P和内压力p作用 Mises屈服条件 6 50 从Lode参数可得 6 51 6 52 30 6 6屈服条件的实验验证 一 薄壁圆管受拉力P和内压力p作用 6 53 代入Mises条件 Mises屈服条件 31 6 6屈服条件的实验验证 一 薄壁圆管受拉力P和内压力p作用 6 54 Trescda屈服条件 Mises屈服条件表示一条抛物线 Trescda屈服条件表示平行横坐标的直线 实验证明Mises屈服条件有较好的正确性 32 6 6屈服条件的实验验证 二 薄壁圆管受拉力P和扭矩M作用 设圆筒壁厚为t 平均半径为a t a 应力 6 55 主应力 6 56 33 6 6屈服条件的实验验证 二 薄壁圆管受拉力P和扭矩M作用 6 57 6 58 Mises屈服条件 Tresca屈服条件 Mises屈服条件 Tresca屈服条件 6 59 6 60 34 6 6屈服条件的实验验证 二 薄壁圆管受拉力P和扭矩M作用 实验结果及与两种屈服条件的比较 实验结果更接近于Mises屈服条件 简单拉伸时两个屈服条件重合 纯剪切时两个屈服条件相差最大 35 6 6屈服条件的实验验证 三 应力应变关系的实验验证 复杂应力状态下如何考虑应力分量与应变分量的关系 考虑应力应变的Lode参数 应力Mohr圆和应变Mohr圆相似 由左图相似性可得 应力主轴和应变主轴一致 36 6 6屈服条件的实验验证 例题 薄壁圆筒受拉力P和扭矩M的作用 写出该情况的Tresca和Mises屈服条件 若已知r 50mm t 3mm ss 400MPa P 150kN M 9kNm 试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态 解 先求应力 用Tresca屈服条件判断 用Mises屈服条件判断 屈服 未屈服 37 6 7加载条件和加载曲面 应力强化 交叉效应 加载条件 加载曲面 在简单拉压时 经过塑性变形后 屈服应力提高的现象 拉伸塑性变形 使压缩屈服应力降低 Bauschinger效应 并且还影响剪切屈服应力等的现象 材料经过初次屈服后 后继的屈服条件将与初始条件不同 这种发生变化了的后继屈服条件称为加载条件 应力空间内与加载条件对应的曲面 概念 进一步发生塑性变形的条件 理想塑性材料 加载面 屈服面 加载面 还依赖于塑性应变的过程 即它与此刻的 ijp状态有关 还依赖于整个应变历史 K 因此 一般加载面为 6 62 38 6 7加载条件和加载曲面 一 等向强化模型 6 65 单向拉压情况 令 6 63 6 64 复杂应力状态 假定加载面就是屈服面做相似扩大 应变历史及强化程度的参数 39 6 7加载条件和加载曲面 一 等向强化模型 在Mises屈服条件下 6 66 等效塑性应变增量 按 1 54 式 6 67 加载面为 6 68 退化到一维时与 6 64 一致 表示成依赖于塑性功的参数 6 69 40 6 7加载条件和加载曲面 二 随动强化模型 6 70 推广到复杂应力状态 屈服条件 6 71 表示屈服条件 在Mises屈服条件下 6 72 可根据简单拉伸试验来定 41 6 7加载条件和加载曲面 二 随动强化模型 6 72 在简单拉伸下 式 6 72 对于线性强化材料 6 73 42 6 7加载条件和加载曲面 二 随动强化模型 两种强化形式 Ivey的拉扭实验结果 43 6 8Mohr Coulomb和Drucker Prager屈服条件 一 Mohr Coulomb屈服条件 6 74 粘聚力 内摩擦角 岩石和土质破裂面上的剪应力 破裂面上的正应力 由左图得 6 75 代入 6 74 44 6 8Mohr Coulomb和Drucker Prager屈服条件 一 M