云南省大理、丽江、怒江2020届高三毕业生第二次复习统一检测 数学（理） 含答案.doc

1 秘密 启用前 考试时间 1 月 2 日 15 00 17 00 大理 丽江 怒江 2020 届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意 1 答卷前 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在答题卡 上 并认真核准条形码上的准考证号 姓名 考场号 座位号及科目 在规定的位置贴好 条形码 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮檫干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知集合 3 0 x My yx 2 lg 3Nx yxx 则M N 为 A B 1 C 3 D 1 3 2 设i是虚数单位 如果复数2 ai i 的实部与虚部是互为相反数 那么实数a的值为 A 3 B 1 3 C 1 3 D 3 3 甲 乙 丙三人参加某公司的面试 最终只有一人能够被该公司录用 得到面试结果以后 甲 说 丙被录用了 乙说 甲被录用了 丙说 我没被录用 若这三人中仅有一人说法错误 则下 列结论正确的是 A 丙被录用了B 乙被录用了C 甲被录用了D 无法确定谁被录用了 4 设m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 2 若m n 则m n为异面直线 若m m 则 若 则 若m n mn 则 则上述命题中真命题的序号为 A B C D 5 若正整数n除以正整数m后的余数为r 则记为 mod nrm 例如10 3 mod7 下面程序框图的算法源 于我国南北朝时期闻名中外的 中国剩余定理 执行该程序 框图 则输出n的值等于 A 29 B 30 C 31 D 32 6 曲线 2 lnyx x 在 1x 处的切线的倾斜角为 则 cossin 的值为 A 2 10 5 B 10 5 C 10 5 D 5 2 10 7 已知函数 4 0 4 0 x x ex f x ex 2 g xx 则函数 g yf xx 的大致图象是 A B 3 C D 8 等比数列 n a 的前n项和为 n S 若 213521 3 nn SaaaanN 123 8a a a 则 8 S A 510B 255C 127D 6540 9 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的外接球的表面积为 A 9 2 B 9 C 12 D 16 10 已知 1t 2 logxt 3 logyt 5 logzt 则 A 2 35xyz B 5 23zxy C 3 52yzx D 3 25yxz 11 设 1 F 2 F 分别是椭圆 22 22 10 yx ab ab 的焦点 过 2 F 的直线交椭圆于P Q两点 且 1 PQPF 1 PQPF 则椭圆的离心率为 A 32 B 63 C 2 2 D 9 6 2 12 已知函数 4sin 2 6 f xx 46 0 3 x 若函数 3F xf x 的所有零点依次记为 1 x 2 x 3 x n x 且 123n xxxx 则 1231 222 nn xxxxx A 1276 3 B 445 C 455 D 1457 3 4 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在 5 xy xy 的展开式中 33 x y 的系数是 14 张丘建算经 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有女不善织 日 减功迟 初日织五尺 末日织一尺 今共织九十尺 问织几日 其中 日减功迟 的具体 含义是每天比前一天少织同样多的布 则每天比前一天少织布的尺数为 15 已知双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的两条渐进线均与圆 22 8120C xyx 相切 且双 曲线的右焦点为圆C的圆心 则双曲线的方程为 16 平行四边形ABCD中 3AB 2AD 120BAD P是平行四边形ABCD内一点 且 1AP 若 APxAByAD 则3 2xy 的最大值为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 17 12 分 在 ABC 中 内角A B C的对边分别为a b c 已知 222 6bca 且 sinsin4 sinsinbCcBaBC 1 求cos A 2 求 ABC 的面积 18 12 分 某工厂预购买软件服务 有如下两种方案 方案一 软件服务公司每日收取工厂 60 元 对于提供的软件服务每次 10 元 方案二 软件服务公司每日收取工厂 200 元 若每日软件服务不超过 15 次 不另外收费 若超过 15 次 超过部分的软件服务每次收费标准为 20 元 5 A B C M D P 1 设日收费为 y 元 每天软件服务的次数为x 试写出两种方案中 y 与x的函数关系式 2 该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计 得到如图所示的条形图 依据该统计数 据 把频率视为概率 从节约成本的角度考虑 从两个方案中选择一个 哪个方案更合适 请 说明理由 19 12 分 在四棱锥P ABCD 中 ABCD 2CDAB 1 设AC与BD相交于点M 若存在点N使得 0ANmAP m 且 MN 平面PCD 求实数m的值 2 若AB ADDP 60BAD 2PBAD 且PD AD 求二面角A PCB 的 余弦值 20 12 分 6 设函数 11 xx f xxeae 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 在 0 有零点 证明 2a 21 12 分 设A B为曲线 2 4 x C y 上两点 A与B的横坐标之和为4 1 求直线AB的斜率 2 设弦AB的中点为N 过点A B分别作抛物线的切线 则两切线的交点为E 过点E作直 线l 交抛物线于P Q两点 连接NP NQ 证明 2 EAEBNPNQAB kkkkk 请考生在第 22 23 题中任选一道作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写清题 号 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的参数方程为 1 cos sin x y 为参数 以 O 为极点 x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求圆 C 的极坐标方程 2 直线 l 的极坐标方程是 2 sin3 3 3 射线 3 OM 与圆 C 的交点为 O P 与 7 直线 l 的交点为 Q 求线段 PQ的长度 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 1f xx 1 求不等式 336fxfx 的解集 2 若不等式 14f xf xaxb 的解集为实数集R 求a b 的取值范围 8 大理 丽江 怒江 2020 届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学参考答案及评分标准 一 选择题 题号123456789101112 答案DACCDAABBDBC 12 函数 4sin 2 6 f xx 令 2 62 xk 得 1 23 xk k Z 即 f x 的对称轴方程为 1 23 xk k Z f x 的最小正周期为T 46 0 3 x 当 30k 时 可得 46 3 x f x 在 46 0 3 上有 31 条对称轴 根据正弦函数的性质可知 函数 4sin 2 6 f xx 与 3y 的交点 1 x 2 x 关于3 对称 2 x 3 x 关于 5 6 对称 故 31n 即 12 2 2 6 xx 23 5 2 6 xx 3031 89 2 6 xx 将以上各式相加得 1233031 2589 2222 666 xxxxx 25889455 3 故选 C 二 填空题 13 0 14 4 29 15 22 1 124 xy 16 2 9 三 解答题 17 解 1 因为 sinsin4 sinsin bCcBaBC 由正弦定理得 sin sinsinsin4sinsinsin BCCBABC 2 分 又sin sin0BC 所以4sin 2 A 即 1 sin 2 A 又 222 6bca 由余弦定理得cos 0A 4 分 所以 2 3 cos1 sin 2 AA 6 分 2 因为 222 cos 2 bca A bc 8 分 所以 36 22bc 即 2 3bc 10 分 所以 1113 sin2 3 2222 ABC SbcA 12 分 18 解 1 由题可知 方案一中的日收费 y 与x的函数关系式为 1060 yxxN 2 分 方案二中的日收费 y 与x的函数关系式为 200 15 20100 15 xxN y xxxN 5 分 2 设方案一中的日收费为X 由条形图可得X的分布列为 X190200210220230 P0 10 40 10 20 2 所以 190 0 1200 0 4210 0 1220 0 2230 0 2210E X 元 8 分 方案二中的日收费为Y 由条形图可得Y的分布列为 Y200220240 10 P0 60 20 2 200 0 6220 0 2240 0 2212E Y 元 11 分 所以从节约成本的角度考虑 选择方案一 12 分 19 解 1 因为 ABCD 所以 11 23 AMABAM MCCDAC 1 分 因为 MN 平面PCD MN 平面PAC 平面PAC 平面PCD PC 所以 MN PC 3 分 所以 1 3 ANAM APAC 即 1 3 m 4 分 2 因为 60ABADBAD 可知三角形 ABD 为等边三角形 所以BD ADPD 又 2BPAD 故 222 BPPDDB 所有PD DB 由已知 PDAD ADBDD 所以PD 平面ABCD 如图 以D为坐标原点 DA DP 的方向为 x y 轴的正方向建立空间直角坐标系 设 1AB 则 1 2ABADDPCD 所以 1 0 0A 13 0 0 1 0 1 0 3 22 BPC 则 13 1 1 1 3 22 PBPC 1 1 0PA 6 分 设平面PBC的一个法向量为 1111 nx y z 则有 1 1 0 0 n PB n PC 即 111 111 230 30 xyz xyz 令 1 1x 则 11 2 3yz 即 1 1 2 3n 8 分 11 设平面APC的一个法向量为 2222 nxyz 则有 2 2 0 0 nPA nPC 即 22 222 0 30 xy xyz 令 22 3xy 则 2 2z 即 2 3 3 2n 10 分 所以 12 12 12 5 315 cos 42 210 n n n n nn 设二面角A PCB 的平面角为 则 15 cos 4 12 分 20 解 1 11 xx f xxeae 1 x fxxae 2 分 1xa 时 0fx 函数 f x 在 1 a 上单调递增 1xa 时 0fx 函数 f x 在 1a 上单调递减 4 分 2 证明 函数 f x 在 0 有零点 可得方程 0f x 有解 11 11 111 x x xxx x ex xex ax eee 有解 令 1 1 x x g xx e 则 22 2 11 1 1 1 xx xx xx eex exe gx ee 6 分 设函数 2 x h xex 10 x h xe 函数 h x 在 0 上单调递增 又 130he 2 240he 8 分 又函数 h x 在 0 上单调递增 存在 0 1 2x 当 0 0 xx 时 0gx 当 0 xx 时 0gx 函数 g x 存在唯一最小值点 0 x 满足 0 0 2 x ex 12 0 0 000 1 12 3 1 x x g xxx e 1 1 x x ag xx e 有解 0 2ag x 2a 12 分 21 解 设 1122 A x yB xy 则 22 12 121212 4 44 xx xxyyxx 1 直线AB的斜率 2112 21 1 4 AB yyxx k xx 3 分 2 由 1 知 等价于证明 2 EAEBNPNQ kkkk 1 1 2 EAx x x ky 2 2 2 EBx x x ky 1212 2 222 EAEB xxxx kk 5 分 设直线 AB lyxm 过 11 A x y 点的切线方程为 111 1 2 yyxxx 整理得 2 11 11 24 yx xx 同理 过 22 B xy 点处切线的方程为 2 22 11 24 yx xx 联立方程组 2 11 2 22 11 24 11 24 yx xx yx xx 解得 2 1111 1 2 4 xyxxxym 2 Em 7 分 设 3344 P xyQ xy 易知割线的斜率存在 因为 2 Em 设割线的方程为 2ymk x 代入抛物线 2 4 x y 整理得 2 4840 xkxkm 则 3434 4 84xxk xxkm 13 所以 2 222 34343434 111 2442 444 yyxxxxxxkkm 2 2222 343434 111 44 4416 yyxxx xkkmm 22