数学建模论文.doc

7. 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题： 1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 问题的分析 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产，用多少桶牛奶生产 (也可以是每天生产多少公斤，多少公斤)，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型 模型的建立 设每天用桶牛奶生产，用桶牛奶生产 设每天获利为z元桶牛奶可生产3公斤，获利 243，桶牛奶可生产4公斤，获利164，故目标函数为：z=72+64由题设可以得到如下约束条件： 原料供应： 生产，的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即+50桶； 劳动时间： 生产，的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12+8480小时；设备能力： 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即3100； 非负约束： +均不能为负值，即0，0综上可得该问题的数学模型为：由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划(LinearProgramming，简记作LP)模型分析与假设从本章下面的实例可以看到，许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划(特别是在像生产计划这样的经济管理领域)，这不是偶然的让我们分析一下线性规划具有哪些特征，或者说：实际问题具有什么性质，其模型才是线性规划比例性:每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比。可加性:各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其它决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其它决策变量的取值无关连续性:每个决策变量的取值是连续的比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性则允许得到决策变量的实数最优解对于本例，能建立上面的线性规划模型，实际上是事先作了如下的假设：1) ，两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出，的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；2) ，每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出，的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；3)加工，的牛奶的桶数可以是任意实数这3条假设恰好保证了上面的3条性质当然，在现实生活中这些假设只是近似成立的，比如，的产量很大时，自然会使它们每公斤的获利有所减少由于这些假设对于书中给出的、经过简化的实际问题是如此明显地成立，本章下面的例题就不再一一列出类似的假设了不过，读者在打算用线性规划模型解决现实生活中实际问题时，应该考虑上面3条性质是否近似地满足模型的求解 图解法： 这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质将约束条件(2)(5)中的不等号改为等号，可知它们是，平面上的5条直线，依次记为，如图1其中，分别是工轴和轴，并且不难判断，(2)(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)目标函数(1)中的z取不同数值时，在图1中表示一组平行直线(虚线)，称等值线族如z=0是过O点的直线，z=2400是过D点的直线，z=3040是过C点的直线，可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B点时，z=3360，达到最大值，所1,5B点的坐标(20，30)即为最优解：=20， =30我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得推广到n维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得线性规划的理论告诉我们，这个猜想是正确的8. 一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为： 2：006：00 3人 6：0010：00 9人10：0014：00 12人 14：0018：00 5人18：0022：00 18人 22：00 2：00 4人设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。解：用决策变量,分别表示2：006：00， 6：