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jai2010年学院第二届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果设置报名号的话）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 年 月 2010年学院第二届大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注储油罐的变位识别与罐容表标定摘要背景（12句）本问题是一个数学问题（优化设计问题、 ）首先，我们建立了的数学模型来描述，此模型研究了针对问题一（；利用了什么数学模型、方法，解决了问题，得出了结论。针对问题二、我们用积分的方法导出了油罐不变位时：储油罐横截面椭圆的长半轴为a ,短半轴为b ,储油横截面弓形的高为h (高h 垂直于长半轴) ,油罐的长为L 时,体积为经过逼近后体积为同样我们用积分的方法导出了有关变位时文章介绍了体积与油品液面高度的函数关系,并通过测量油罐实际参数,使该函数具体化,给出了该函数的计算机程序,得出了油品体积与油品液面高度对照表,提高了油品体积的测量精度,减少了实际测量中的工作量。用积分的方法导出了卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算公式, 并举例说明其使用方法, 为工矿企业对此种贮油装置进行油品盘点、成本考核及节油指标考核提供了可靠依据。关键字：一、 问题重述（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用题目的图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于题目图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、 模型假设一般假设57个1)假设油罐的体积不受热胀冷缩的影响. 2)假设出油管和进油管的厚度不计3)假设油罐倾斜的方向一定4)5)6)三、 定义与符号变量1：油罐横截面的长半轴为a2：油罐横截面的短半轴为b3：横截面弓形的高为4：油罐的长为5：椭圆弓形的面积为6：储油罐的油容量为7： 8：四、 问题分析问题一：背景分析（本问题是一个问题，目的是要求） 问题可归结成数学问题，建立数学模型（归纳出问题的本质，约束条件）问题一：经常见到一些储油罐横截面都是椭圆形。对这类问题,如果油罐里面的油是满的,只要用横截面椭圆形的面积乘以油罐的长度,即可求出储油的体积。但有时油罐里的油不是满的,要求出其体积,往往成为工人和技术人员的麻烦事。，有时又由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。此问研究的是油罐变位后对罐容表的表影响.我们先通过研究无变位时油罐内油位高度与储油量的关系，建立模型.再通过罐体变位后油罐内油位高度与储油量的关系建立模型.通过两个模型的对比分析出，罐体变位后对罐容表的影响.最后通过我们建立的模型对变位后油位高度间隔为1cm罐容表进行标定值.问题二：五、模型建立与求解5.1问题一问题分析：通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位进行分析，归结为求解出罐容表油位高度的显示值与油的容量之间的函数关系，从而给出罐体变位后油位高度间隔为10mm罐容表标定值。5.1.1 模型一 利用几何模型计算无变位时油罐的总容量和罐容表油位高度的显示值（1）简述：在油田,经常见到一些储油罐横截面都是椭圆形。对这类问题,如果油罐里面的油是满的,只要用横截面椭圆形的面积乘以油罐的长度,即可求出储油的体积。但有时油罐里的油不是满的,要求出其体积,往往成为工人和技术人员的麻烦事。如果我们能用钢尺量出油的深度h 和椭圆的长半轴a ,短半轴b(圆的半径R) 及油罐的长度。就能用简单的计算方法求出储油的体积,这在实际工作中显然是有价值的。（2）用最佳平方逼近多项式得出储油体积的近似值设横截面椭圆的方程为:椭圆弓形的高为,图中带阴影部分为储油横截面,先用定积分求储油体积。（图一）椭圆设椭圆弓形的面积为，则 设 (由 ,可知) ,油罐的长为,储油的体积为,可得: 式（1）5.1.2 模型二利用几何模型计算倾斜变位后油罐的总容量和罐容表油位高度的显示值（1） 简述： 为了研究倾斜变位后油罐的总容量和罐容表油位高度的显示值，首先，我们根据油位高度的变化范围划分四种情况进行讨论，然后通过算出对应的面积和容量，从而得出倾斜变位时油罐的总容量与油位高度之间的函数关系。本问题需建立模型研究罐体变位后对罐体的影响，从而得出罐体变位后罐容表的标定值。罐容表是标定体积与油品液面高度的函数关系的表格，所以本问题的实质是通过找出变位后油罐的总容量与油位高度之间的函数关系。，从而建立出一张变位后罐体变位后油位高度间隔为10mm罐容表标定值。（2）以下我们分四种情况进行讨论：第一种情况： ，即（） 当时，罐容表的显示值大于无变位时油面高度值，如图二所示，为了研究方便，我们建立新的坐标系如图四所示，然后把罐内的油体投影到平面上如图三所示，由图二可知油面高度值和油位高度之间存在如下关系： 式（2） 即： 式（3）由图二所建立的坐标系得到椭圆方程： 式（4）从而计算出图三的椭圆截面面积为： 式（5）积分得到油罐的总容量与油位高度之间的函数关系式为： 式（6）其中；最终求出其解析解为：利用MATLAB程序算出式（6）的数值解，继而得出时对应的油罐的总容量，如表（？）。（图二）小椭圆油罐正面示意图（图三）小椭圆油罐截面图（图四）第一种情况第二种情况： ，即利用式（5）积分得到油罐的总容量与油位高度之间的函数关系式为： 式（7）最终求出其解析解为：利用MATLAB程序算出式（7）的数值解，继而得出时对应的油罐的总容量，如表（？）。（图五）第二种情况第三种情况： ，即利用式（2）积分得到油罐的总容量与油位高度之间的函数关系式为： 式（8）其中 最终求出其解析解为：利用MATLAB程序算出式（8）的数值解，继而得出时对应的油罐的总容量，如表（？）。（图六）第三种情况第四种情况： 利用式（2）积分得到油罐的总容量与油位高度之间的函数关系式为： 式（9）最终求出其解析解为：利用MATLAB程序算出式（9）的数值解，继而得出时对应的油罐的总容量，如表（？）。（图七）第四种情况5.1.3 利用多项式拟合无变位与倾斜变位油罐的油位高度与油罐内储油量之间的函数关系（1）无变位时油罐中油的高度和油罐中油的容量的函数关系式 定义变量： 油罐内的高度：油罐内油的容量： 求解过程： 以作为自变量，作为因变量，利用附件1的表一（无变位进油）的数据，先利用累加进油量和罐内油量初值计算出油罐内油的容量，利用MATLAB的多项式拟合功能，分别进行1、2、3次多项式拟合，如下：（图八）从图二可以看出，三次多项式拟合的效果比一、二次多项式拟合的效果要好一些，故采用三次多项式表达油罐的油位高度与油罐内储油量之间的函数关系，其关系表达式如下：（2）倾斜变位时油罐中油的高度和油罐中油的容量的函数关系式 定义变量： 油罐内的高度：油罐内油的容量： 求解过程： 以作为自变量，作为因变量，利用附件1的表三（倾斜变位进油）的数据，先利用累加进油量和罐内油量初值计算出油罐内油的容量，利用MATLAB的多项式拟合功能，分别进行1、2、3次多项式拟合，如下：（图九）从图三可以看出，三次多项式拟合的效果比一、二次多项式拟合的效果要好一些，故采用三次多项式表达油罐的油位高度与油罐内储油量之间的函数关系，其关系表达式如下：得出题目要求的新的罐容表为利用模型二得出的罐容表（未变位）油位高度/mm罐容表的容量值油位高度/mm罐容表的容量值油位高度/mm罐容表的容量值油位高度/mm罐容表的容量值0.00 0.00 300.00 775.28 600.00 1986.65 900.00 3194.88 10.00 1.56 310.00 811.59 610.00 2029.14 910.00 3230.55 20.00 3.11 320.00 848.32 620.00 2071.61 920.00 3265.77 30.00 4.67 330.00 885.45 630.00 2114.05 930.00 3300.52 40.00 24.31 340.00 922.96 640.00 2156.44 940.00 3334.79 50.00 44.75 350.00 960.85 650.00 2198.78 950.00 3368.57 60.00 65.98 360.00 999.09 660.00 2241.03 960.00 3401.84 70.00 87.99 370.00 1037.67 670.00 2283.20 970.00 3434.58 80.00 110.76 380.00 1076.59 680.00 2325.26 980.00 3466.79 90.00 134.28 390.00 1115.82 690.00 2367.20 990.00 3498.44 100.00 158.53 400.00 1155.35 700.00 2409.00 1000.00 3529.53 110.00 183.51 410.00 1195.16 710.00 2450.66 1010.00 3560.03 120.00 209.18 420.00 1235.25 720.00 2492.16 1020.00 3589.94 130.00 235.54 430.00 1275.59 730.00 2533.48 1030.00 3619.24 140.00 262.58 440.00 1316.18 740.00 2574.61 1040.00 3647.92 150.00 290.28 450.00 1356.99 750.00 2615.54 1050.00 3675.95 160.00 318.63 460.00 1398.01 760.00 2656.24 1060.00 3703.34 170.00 347.61 470.00 1439.24 770.00 2696.71 1070.00 3730.05 180.00 377.21 480.00 1480.64 780.00 2736.93 1080.00 3756.09 190.00 407.41 490.00 1522.22 790.00 2776.88 1090.00 3781.42 200.00 438.20 500.00 1563.95 800.00 2816.56 1100.00 3806.05 210.00 469.56 510.00 1605.83 810.00 2855.95 1110.00 3829.95 220.00 501.48 520.00 1647.83 820.00 2895.03 1120.00 3853.10 230.00 533.95 530.00 1689.94 830.00 2933.79 1130.00 3875.51 240.00 566.95 540.00 1732.15 840.00 2972.21 1140.00 3897.14 250.00 600.46 550.00 1774.44 850.00 3010.28 1150.00 3918.00 260.00 634.48 560.00 1816.81 860.00 3047.99 1160.00 3938.05 270.00 668.99 570.00 1859.22 870.00 3085.32 1170.00 3957.29 280.00 703.96 580.00 1901.68 880.00 3122.25 1180.00 3975.71 290.00 739.40 590.00 1944.16 890.00 3158.78 1190.00 3993.28 1200.00 4010.00 利用多项式拟合得出的罐容表（倾斜变位）油位高度/mm罐容表的容量值油位高度/mm罐容表的容量值油位高度/mm罐容表的容量值油位高度/mm罐容表的容量值0.00 42.10 300.00 594.84 600.00 1713.91 900.00 2994.74 10.00 47.13 310.00 625.27 610.00 1756.24 910.00 3035.50 20.00 53.22 320.00 656.30 620.00 1798.74 920.00 3075.97 30.00 60.36 330.00 687.94 630.00 1841.38 930.00 3116.15 40.00 68.54 340.00 720.16 640.00 1884.17 940.00 3156.00 50.00 77.73 350.00 752.95 650.00 1927.07 950.00 3195.53 60.00 87.93 360.00 786.30 660.00 1970.08 960.00 3234.72 70.00 99.11 370.00 820.18 670.00 2013.17 970.00 3273.54 80.00 111.27 380.00 854.59 680.00 2056.34 980.00 3311.99 90.00 124.39 390.00 889.51 690.00 2099.58 990.00 3350.06 100.00 138.45 400.00 924.92 700.00 2142.85 1000.00 3387.71 110.00 153.45 410.00 960.81 710.00 2186.16 1010.00 3424.95 120.00 169.35 420.00 997.16 720.00 2229.48 1020.00 3461.75 130.00 186.15 430.00 1033.97 730.00 2272.80 1030.00 3498.10 140.00 203.84 440.00 1071.21 740.00 2316.11 1040.00 3533.99 150.00 222.40 450.00 1108.87 750.00 2359.39 1050.00 3569.40 160.00 241.81 460.00 1146.93 760.00 2402.62 1060.00 3604.31 170.00 262.06 470.00 1185.39 770.00 2445.79 1070.00 3638.72 180.00 283.13 480.00 1224.21 780.00 2488.