二次函数 的图象.ppt

北师大版九年级 下 2二次函数的图象与性质 图像的平移 二次函数y ax2的性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 a 0 y ax2 a 0 0 0 0 0 y轴 y轴 在x轴的上方 除顶点外 在x轴的下方 除顶点外 向上 向下 当x 0时 最小值为0 当x 0时 最大值为0 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 我思 我进步 在同一坐标系中作出二次函数y 2x 1的图象与二次函数y 2x 的图象 二次函数y 2x 1的图象与二次函数y 2x 的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看 二次项系数为2 开口向上 开口大小相同 对称轴都是y轴 增减性与也相同 顶点不同 分别是原点 0 0 和 0 1 二次函数y 2x2 1的图象形状与y 2x2一样 仍是抛物线 二次函数y 2x2 1的图象是什么形状 它与二次函数y 2x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 位置不同 最小值不同 分别是1和0 想一想 在同一坐标系中作二次函数y 2x2 1和y 2x2的图象 会是什么样 二次项系数为 2 开口向下 开口大小相同 对称轴都是y轴 增减性与也相同 顶点不同 分别是原点 0 0 和 0 1 二次函数y 2x2 1的图象形状与y 2x2一样 仍是抛物线 二次函数y 2x2 1的图象是什么形状 它与二次函数y 2x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 位置不同 最大值不同 分别是1和0 想一想 二次函数y ax2 c和y ax2的图象和性质 我思 我进步 在同一坐标系中作出二次函数y 3x 1的图象与二次函数y 3x 的图象 二次函数y 3x 一l的图象与二次函数y 3x 的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 二次项系数为正数3 开口向上 开口大小相同 对称轴都是y轴 增减性与也相同 顶点不同 分别是原点 0 0 和 0 1 二次函数y 3x2 1的图象形状与y 3x2一样 仍是抛物线 二次函数y 3x2 1的图象是什么形状 它与二次函数y 3x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 位置不同 最大值不同 分别是1和0 想一想 在同一坐标系中作二次函数y 3x2 1和y 3x2的图象 会是什么样 二次项系数为正数 3 开口向下 开口大小相同 对称轴都是y轴 增减性与也相同 顶点不同 分别是原点 0 0 和 0 1 二次函数y 3x2 1的图象形状与y 3x2一样 仍是抛物线 二次函数y 3x2 1的图象是什么形状 它与二次函数y 3x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 位置不同 最大值不同 分别是0和 1 请你总结二次函数y ax2 c的图象和性质 二次函数y ax2 c的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 c a 0 y ax2 c a 0 0 c 0 c y轴 y轴 当c 0时 在x轴的上方 经过一 二象限 当c 0时 与x轴相交 经过一 二三四象限 当c0时 与x轴相交 经过一 二三四象限 向上 向下 当x 0时 最小值为c 当x 0时 最大值为c 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 二次函数y ax c与y ax 的关系 1 相同点 1 图像都是抛物线 形状相同 开口方向相同 2 都是轴对称图形 对称轴都是y轴 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在y轴左侧 y都随x的增大而减小 在y轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在y轴左侧 y都随x的增大而增大 在y轴右侧 y都随x的增大而减小 2 不同点 1 顶点不同 分别是 0 c 0 0 2 最值不同 分别是c和0 3 联系 y ax c a 0 的图象可以看成y ax 的图象沿y轴整体平移 c 个单位得到的 当c 0时向上平移 当c 0时 向下平移 习题 1 二次函数和y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 先想一想 如果需要 作草图看一看 二次函数和呢 比较函数与的图象 2 在同一坐标系中作出二次函数y 3x2和y 3 x 1 2的图象 完成下表 并比较3x2和3 x 1 2的值 它们之间有什么关系 y 3 x 1 2 观察图象 回答问题 3 函数y 3 x 1 2的图象与y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 4 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线 x 1 顶点坐标是点 1 0 二次函数y 3 x 1 2与y 3x2的图象形状相同 可以看作是抛物线y 3x2整体沿x轴向右平移了1个单位 3 函数y 3 x 1 2的图象与y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 二次项系数相同a 0 开口都向上 想一想 在同一坐标系中作二次函数y 3 x 1 2的图象 会在什么位置 在对称轴 直线 x 1 左侧 即x 1时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 顶点是最低点 函数有最小值 当x 1时 最小值是0 二次函数y 3 x 1 2与y 3x2的增减性类似 4 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 在对称轴 直线 x 1 左侧 即x 1时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而增大 想一想 在同一坐标系中作出二次函数y 3 x 1 2的图象 它的增减性会是什么样 真知从实践走来 1 在上面的坐标系中作出二次函数y 3 x 1 2的图象 它与二次函数y 3x2和y 3 x 1 2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 在同一坐标系中作出二次函数y 3x2 y 3 x 1 2和y 3 x 1 2的图象 完成下表 并比较3x2 3 x 1 2和3 x 1 2的值 它们之间有什么关系 函数y a x h 2 a 0 的图象和性质 图象是轴对称图形 对称轴是平行于y轴的直线 x 1 顶点坐标是点 1 0 二次函数y 3 x 1 2与y 3x2的图象形状相同 可以看作是抛物线y 3x2整体沿x轴向左平移了1个单位 1 函数y 3 x 1 2的图象与y 3x2和y 3 x 1 2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 二次项系数相同a 0 开口都向上 想一想 二次函数y 3 x 1 2的图象的增减性会怎样 在对称轴 直线 x 1 左侧 即x 1时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 顶点是最低点 函数有最小值 当x 1时 最小值是0 二次函数y 3 x 1 2与y 3x2的增减性类似 2 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 在对称轴 直线 x 1 右侧 即x 1时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而增大 猜一猜 函数y 3 x 1 2 y 3 x 1 2和y 3x2的图象的位置和形状 请你总结二次函数y a x h 2的图象和性质 2 抛物线y 3 x 1 2和y 3 x 1 2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 3 抛物线y 3 x 1 2在对称轴 x 1 的左侧 当x1时 y随着x的增大而减小 当x 1时 函数y的值最大 是0 抛物线y 3 x 1 2在对称轴 x 1 的左侧 当x 1时 y随着x的增大而减小 当x 1时 函数y的值最大 是0 二次函数y 3 x 1 2 y 3 x 1 2和y 3x2的图象 4 抛物线y 3 x 1 2可以看作是抛物线y 3x2沿x轴向右平移了1个单位 抛物线y 3 x 1 2可以看作是抛物线y 3x2沿x轴向左平移了1个单位 X 1 X 1 1 抛物线y 3 x 1 2的顶点是 1 0 对称轴是直线 x 1 抛物线y 3 x 1 2的顶点是 1 0 对称轴是直线 x 1 1 抛物线y a x h 2的顶点是 h 0 对称轴是平行于y轴的直线x h 3 当a 0时 在对称轴 x h 的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴 x h 右侧 y随着x的增大而增大 当x h时函数y的值最小 是0 当a 0时 在对称轴 x h 的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴 x h 的右侧 y随着x增大而减小 当x h时 函数y的值最大 是0 二次函数y a x h 2的性质 2 当a 0时 抛物线y a x h 2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线y a x h 2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 X h X h 4 越大 开口越小 越小 开口越大 二次函数y a x h 2与y ax2的图象形状相同 可以看作是抛物线y ax2整体沿x轴平移了个单位 当h 0时 向右移个单位 当h 0时 向左移个单位 得到的 二次函数y a x h 2的性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 a 0 y a x h 2 a 0 h 0 h 0 直线x h 直线x h 在x轴的上方 除顶点外 在x轴的下方 除顶点外 向上 向下 当x h时 最小值为0 当x h时 最大值为0 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 我思 我进步 在同一坐标系中作出二次函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象 二次函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看 在同一坐标系中作出函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象 完成下表 并比较3x2 3 x 1 2和3 x 1 2 2值 它们之间有何关系 函数y a x h 2 k a 0 的图象和性质 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 顶点是 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向上平移2个单位后得到的 二次函数y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 开口向上 当X 1时有最小值 且最小值 2 先猜一猜 再做一做 在同一坐标系中作二次函数y 3 x 1 2 2 会是什么样 X 1 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 顶点是 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向下平移2个单位后得到的 二次函数y 3 x 1 2 2的图象与抛物线y 3x2和y 3 x 1 2有何关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 开口向上 当x 1时y有最小值 且最小值 2 想一想 二次函数y 3 x 1 2 2和y 3x y 3 x 1 2的图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 再作图看一看 X 1 我思 我进步 在同一坐标系中作出二次函数y 3 x 1 2 2 y 3 x 1 2 2 y 3x 和y 3 x 1 2的图象 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2和y 3x y 3 x 1 2的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 顶点分别是 1 2 和 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向上 或向下 平移2个单位后得到的 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 开口向下 当x 1时y有最大值 且最大值 2 或最大值 2 想一想 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2 y X 1 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 顶点分别是 1 2 和 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向左平移1个单位 再沿直线x 1向上 或向下 平移2个单位后得到的 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 开口向下 当x 1时y有最大值 且最大值 2 或最大值 2 先想一想 再总结二次函数y a x h 2 k的图象和性质 X 1 二次函数y a x h k与 ax 的关系 一般地 由y ax 的图象便可得到二次函数y a x h k的图象 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 因此 二次函数y a x h k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标与a h k的值有关 二次函数y a x h 2 k的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 k a 0 y a x h 2 k a 0 h k h k 直线x h 直线x h 由h和k的符号确定 由h和k的符号确定 向上 向下 当x h时