高中数学第二章推理与证明期末复习课件 新人教B版选修22.ppt

前提为真时 结论可能为真的推理 叫做合情推理 一 类比推理 在学习空间向量时 我们是这样推测空间向量的基本定理的 由于平面向量与空间向量都是既有大小又有方向的量 并且两者具有类似 或一致 的运算性质 如都具有加法的交换律和结合律等 因此根据平面向量的基本定理 我们推测空间向量也具有类似的性质 如果三个向量不共面 那么对于空间任一向量 存在一个惟一的有序实数组x y z 使 这种根据两类不同事物之间具有某些类似 或一致 性 推测其中一类事物具有与另一类事物类似 或相同 的性质的推理 叫做类比推理 简称类比 类比属于合情推理 下面我们通过一个例子来得出类比的一般步骤 三角形与四面体有如下类似的性质 1 三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形 四面体是空间由平面所围成的最简单的封闭图形 2 三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形 四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形 根据三角形的性质 可以推测空间四面体的性质如下 一般地 如果类比的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的命题就越可能为真 例1 找出圆与球的相似性质 并用圆的下列性质类比球的有关性质 1 圆心与弦 非直径 中点的连线垂直于弦 2 与圆心距离相等的两弦相等 3 圆的周长c d d是直径 4 圆的面积s r2 解 圆与球有下列相似的性质 1 圆是平面上到一定点距离等于定长的所有点构成的集合 球面是空间中到一定点距离等于定长的所有点构成的集合 2 圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球是空间中封闭曲面是围成的对称图形 通过与圆的有关性质类比 可以推测求的有关性质 其中前三个类比得到的结论是正确的 最后一个猜测则是错误的 由此可见 类比的结论值具有或然性 即可能真 也可能假 虽然有类比所得到的结论未必是正确的 但它所具有的有特殊到特殊的认识功能 等于发现新的规律和事实却是十分有用的 例2 试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质 猜想不等式的性质 1 a b a c b c 1 a b a c b c 2 a b ac bc 2 a b ac bc 3 a b a2 b2 等等 3 a b a2 b2 等等 问 这样猜想出的结论是否一定正确 答 1 对 2 3 不对 二 类比推理的一般步骤 1 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 2 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 3 检验猜想 在学习等差数列时 我们是这样推导首项为a1 公差为d的等差数列 an 的通项公式的 a1 a1 0d a2 a1 1 d a3 a1 2 d a4 a1 3 d 等差数列 an 的通项公式是an a1 n 1 d 这种根据一类事物的部分对象具有某种性质 推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理 叫做归纳推理 简称归纳 归纳是从特殊到一般的过程 二 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同的性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 一般地 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么推广的一般性命题就越可能为真 三 归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是 首先 从思维运动过程的方向来看 演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论 即从一般过渡到特殊 而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论 即从特殊过渡到一般 其实 从前提与结论联系的性质来看 演绎推理的结论不超出前提所断定的范围 其前提和结论之间的联系是必然的 即其前提真而结论假是不可能的 一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确 那么 其结论就必然真实 而归纳推理 完全归纳推理除外 的结论却超出了前提所断定的范围 其前提和结论之间的联系不是必然的 而只具有或然性 即其前提真而结论假是有可能的 也就是说 即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的 归纳推理与演绎推理虽有上述区别 但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的 两者互相依赖 互为补充 比如说 演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来 从这个意义上我们可以说 没有归纳推理也就没有演绎推理 当然 归纳推理也离不开演绎推理 比如 归纳活动的目的 任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的 这只有借助于理论思维 依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导 而这本身就是一种演绎活动 而且 单靠归纳推理是不能证明必然性的 因此 在归纳推理的过程中 人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证 从这个意义上我们也可以说 没有演绎推理也就不可能有归纳推理 分析上述推理过程 可以看出 推理的每一个步骤都是根据一般性命题 如 全等三角形对应角相等 推出特殊性命题 如 b c 这类根据一般性的真命题 或逻辑规则 导出特殊性命题为真的推理 叫做演绎推理 用符号表示这种推理规则就是 如果p q p真 则q真 这种推理规则叫做假言推理 假言推理的本质是 通过证明结论的充分条件为真 判断结论为真 1 假言推理 2 三段论推理 三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理 三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念 每个概念都重复出现一次 这三个概念都有专门名称 结论中的宾词叫 大词 结论中的主词叫 小词 结论不出现的那个概念叫 中词 在两个前提中 包含大词的叫 大前提 包含小词的叫 小前提 用符号表示 这两步都遵循如下推理规则 如果b c 由a b 则a c 这种推理规则 叫做三段论推理 3 传递性关系推理 传递性关系推理指前提中至少有一个是关系判断的推理 它是根据关系的逻辑性质进行推演的 可分为纯关系推理和混合关系推理 纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理 包括对称性关系推理 反对称性关系推理 传递性关系推理和反传递性关系推理 这里用到的推理规则是 如果arb brc 则arc 其中 r 表示具有传递性的关系 这种推理规则叫做传递性关系推理 又如由a b b c 推出a c 也是传递性关系推理 4 完全归纳推理 完全归纳推理是这样一种归纳推理 根据对某类事物的全部个别对象的考察 已知它们都具有某种性质 由此得出结论说 该类事物都具有某种性质 例4 证明函数f x x6 x3 x2 x 1的值恒为正数 1 综合法 综合法是从原因推导到结果的思维方法 而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 具体地说 综合法是从已知条件出法 经过逐步的推理 最后达到待证结论 分析法则是从待证结论出法 一步一步寻求结论成立的充分条件 最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 例1 求证 证明 因为 所以 左式 log195 2log193 3log192 log19 5 32 23 log19360 因为log19360 log19361 2 所以 例2 如图 设四面体pabc中 abc 90 pa pb pc d是ac的中点 求证 pd垂直于 abc所在的平面 证明 连接pd bd 因为bd是rt abc斜边上的中线 所以da db dc 又因为pa pb pc 而pd是 pda pbd pcd的公共边 所以 pda pbd pcd 于是 pda pdb pdc 而 pda pdc 90 可见pd ac pd bd 由此可知 pd垂直于 abc所在的平面 这个证明的步骤是 1 由已知bd是rt abc斜边上的中线 推出da db dc 记为p0 已知 p1 2 由da db dc 和已知条件 推出三个三角形全等 记为p1 p2 3 由三个三角形全等 推出 pda pdb pdc 90 记为p2 p3 4 由 pda pdb pdc 90 推出pd垂直于 abc所在的平面 记为p3 p4 结论 这个证明步骤用符号表示就是p0 已知 p1 p2 p3 p4 结论 2 分析法 例3 求证 证明 因为都是正数 所以为了证明 只需证明 展开得 即 只需证明21 25 因为21 25成立 所以不等式成立 分析法证明的逻辑关系是 b 结论 b1b2 bna 已知 在分析法证明中 从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件 最后一步归结到已被证明的事实 因此从最后一步可以倒推回去 直到结论 但这个倒推过程可以省略 一 反证法 证明命题 设p为正整数 如果p2是偶数 则p也是偶数 我们可以不去直接证明p是偶数 而是否定p是偶数 然后得到矛盾 从而肯定p是偶数 具体证明步骤如下 假设p不是偶数 可令p 2k 1 k为整数 可得p2 4k2 4k 1 此式表明 p2是奇数 这与假设矛盾 因此假设p不是偶数不成立 从而证明p为偶数 一般地 由证明p q转向证明 t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定为假 推出q为真的方法 叫做反证法 例1 证明不是有理数 证明 假定是有理数 则可设 其中p q为互质的正整数 把两边平方得到 2q2 p2 式表明p2是偶数 所以p也是偶数 于是令p 2l l是正整数 代入 式 得q2 2l2 式表明q2是偶数 所以q也是偶数 这样p q都有公因数2 这与p q互质矛盾 因此是有理数不成立 于是是无理数 二 反证法的主要步骤 1 反设 反设是反证法的基础 为了正确地作出反设 掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的 例如 是 不是 存在 不存在 平行于 不平行于 垂直于 不垂直于 等于 不等于 大 小 于 不大 小 于 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 至少有n个 至多有 n一1 个 至多有一个 至少有两个 唯一 至少有两个 2 归谬 归谬是反证法的关键 导出矛盾的过程没有固定的模式 但必须从反设出发 否则推导将成为无源之水 无本之木 推理必须严谨 导出的矛盾有如下几种类型 与已知条件矛盾 与已知的公理 定义 定理 公式矛盾 与反设矛盾 自相矛盾 3 结论 由前两步 得到正确的结论 一点要在前面的基础上肯定结论的真实性 例3 证明1 2不能为同一等差数列的三项 证明 假设1 2是某一等差数列中的三项 设这一等差数列的公差为d 则 1 md 2 nd 其中m n为某两个正整数 由上两式中消去d 得到n 2m n m 因为n 2m为有理数 m n 为无理数 所以n 2m n m 因此假设不成立 1 2不能为同一等差数列中的三项 例5 设a3 b3 2 求证a b 2 证明 假设a b 2 则有a 2 b 从而a3 8 12b 6b2