高中数学期末总复习课件新人教B版选修44.ppt

注 1 2 把图形看成点的运动轨迹 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到 3 在伸缩变换下 平面直角坐标系不变 在同一直角坐标系下进行伸缩变换 x 1 3x y 1 2y x2 y2 1 9 二 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点m 用 表示线段om的长度 用 表示从ox到om的角度 叫做点m的极径 叫做点m的极角 有序数对 就叫做m的极坐标 特别强调 表示线段om的长度 即点m到极点o的距离 表示从ox到om的角度 即以ox 极轴 为始边 om为终边的角 四 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1 给定 就可以在极坐标平面内确定唯一的一点m 2 给定平面上一点m 但却有无数个极坐标与之对应 原因在于 极角有无数个 直角坐标系中的点与坐标之间有什么对应关系 如果限定 0 0 2 那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了 我们约定 极点的极坐标是极径 0 极角是任意角 1 在极坐标系中 极径允许取负值 极角也可以是任意的正角或负角 2 当 0时 点m位于极角终边的反向延长线上 且om r的扩充 r q 3 m也可以表示为 r q 3 负极径的规定 例3 设点a 2 3 直线l为过极点且垂直于极轴的直线 分别求点a关于极轴 直线l 极点的对称点的极坐标 限定 0 结论 1 点 关于极轴的对称点是 2 关于直线的对称点是 3 关于极点o的对称点是 对称性 极坐标与直角坐标的互化关系式 一 设点m的直角坐标是 x y 极坐标是 x cos y sin 互化公式的三个前提条件 1 极点与直角坐标系的原点重合 2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 3 两种坐标系的单位长度相同 直角坐标系与极坐标系变换公式 二 在直角坐标系中 以 x0 y0 为极点 以x轴正向为极轴方向建立极坐标系 则有 x x0 cos y y0 sin 或 2 x x0 2 y y0 2 tan y y0 x x0 二 极坐标系中点的对称性 1 图形关于极轴对称 2 图形关于射线 2所在的直线对称 3 图形关于极点o对称 三 求直线的极坐标方程步骤 1 根据题意画出草图 2 设点是直线上任意一点 3 连接mo 4 根据几何条件建立关于的方程 并化简 5 检验并确认所得的方程即为所求 负极径小结 极径变为负 极角增加 答 6 或 6 特别强调 一般情况下 若不作特别说明时 认为 0 因为负极径只在极少数情况用 1 求过极点 倾角为的射线的极坐标方程 易得 思考 2 求过极点 倾角为的直线的极坐标方程 例题2 求过点a a 0 a 0 且垂直于极轴的直线l的极坐标方程 解 如图 设点 为直线l上除点a外的任意一点 连接om 在中有 即 可以验证 点a的坐标也满足上式 练习 设点a的极坐标为 直线过点a且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 解 如图 设点 为直线上异于的点a 连接om 在中有 即 显然a点也满足上方程 例题3设点p的极坐标为 直线过点p且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 则由点p的极坐标知 由正弦定理得 显然点p的坐标也是它的解 小结 直线的几种极坐标方程 1 过极点 r 2 过某个定点 且垂直于极轴 cos a 4 过某个定点 且与极轴成一定的角度 3 过定点与极轴平行 sin a 二 曲线的极坐标方程 定义 如果曲线 上的点与方程f 0有如下关系 曲线 上任一点的坐标 所有坐标中至少有一个 符合方程f 0 方程f 0的所有解为坐标的点都在曲线 上 则曲线 的方程是f 0 求下列圆的极坐标方程 圆心在极点 半径为r 圆心在 a 0 半径为a 圆心在 a 2 半径为a 圆心在 a 半径为a r 2acos 2asin 圆心的极径与圆的半径相等 设p是空间任意一点 在oxy平面的射影为q 用 0 0 2 表示点q在平面oxy上的极坐标 点p的位置可用有序数组 z 表示 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组 z 叫点p的柱坐标 记作 z 其中 0 0 2 z 柱坐标系又称半极坐标系 它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的 空间点p的直角坐标 x y z 与柱坐标 z 之间的变换公式为 设p是空间任意一点 连接op 记 op r op与oz轴正向所夹的角为 在oxy平面的射影为q 设p在oxy平面上的射影为q ox轴按逆时针方向旋转到oq时所转过的最小正角为 这样点p的位置就可以用有序数组 r 表示 r 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 或空间极坐标系 有序数组 r 叫做点p的球坐标 其中 空间的点与有序数组 r 之间建立了一种对应关系 空间点p的直角坐标 x y z 与球坐标 r 之间的变换关系为 p x y z x y z x y z o p z q x y z o p r q r 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 2 所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么方程 2 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2 参数方程 注 x y的范围由t确定 参数方程求法 1 建立直角坐标系 设曲线上任一点p坐标为 x y 2 选取适当的参数 3 根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 建立点p坐标与参数的函数式 4 证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 参数方程与普通方程的互化 1 准确把握曲线参数方程中的参数的意义及取值范围 2 参数方程化普通方程的技巧 1 代入消去发 2 加减消去法 3 恒等式法 cos2 sin2 1 1 tan2 sec2 1 cot2 csc2 等 3 普通方程化参数方程要恰当设参数 步骤 1 消掉参数 代入消元 三角变形 配方消元 2 写出定义域 x的范围 参数方程化为普通方程的步骤 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y前后的取值范围保持一致 注意 1 1 x 练习4 与普通方程xy 1表示相同的参数方程 t为参数 的是 a x t2 y t 2 b x sint y csct c x cost y sect d x tant y cott 练习5 若曲线 x 1 cos2 y sin2 为参数 则 点 x y 的轨迹是 a 直线x 2y 2 0b 以 2 0 为端点的射线 c 圆 x 1 2 y2 1 d 以 2 0 和 0 1 为端点的线段 d 标准方程 一般方程 x x0 lt y y0 mt l的方向向量a l m 1 写出过点 2 1 倾斜角为2 3的直线的参数方程 2 写出过点 1 3 倾斜角为arctan2的直线的参数方程 练习 练习 3 直线 x 2 tcos30 y 3 tsin60 t为参数 的倾斜 角 等于 a 30b 60c 45d 135 d 4 把 x 5 3t y 10 4t 化成标准方程的形式 思考 例1 已知直线l过点m0 1 5 倾斜角为 3 且交直线x y 2 0于m点 则mm0 三 例题讲解 的应用 直线上两点间的距离 三 例题讲解 例2 已知直线l x y 1 0与抛物线y x2交于a b两点 1 求线段ab的长和点m 1 2 到a b两点的距离之积 2 求ab中点的坐标 4 ab的中点的参数t和t1 t2有什么关系 直线l与曲线相交于m1 m2两点其对应的参数分别为t1 t2 则有 1 曲线的弦长 2 弦m1m2的中点m 结论 例1 直线过点a 1 3 且与向量 2 4 共线 1 写出直线的参数方程 2 求点p 2 1 到此直线的距离 x 1 2t y 3 4t 思考与探索p38 四 课堂练习 它的焦距是多少 b b 二 圆锥曲线的参数方程 双曲线的参数方程 x y m x y c b a m 1 已知p x y 圆c x2 y2 6x 4y 12 0上的点 1 求的最小值与最大值 2 求x y的最大值与最小值 2 圆x2 y2 1上的点到直线3x 4y 25 0的距离最小值是 3 圆 x 1 2 y 2 2 4上的点到直线2x y 1 0的最短距离是 3 过点 2 1 的直线中 被圆x2 y2 2x 4y 0截得的弦 为最长的直线方程是 4 若实数x y满足x2 y2 2x 4y 0 则x 2y的最大值为 5 参数法求轨迹1 一动点在圆x2 y2 1上移动 求它与定点 3 0 连线的中