2009数学建模论文.doc

制动器试验台的控制方法研究摘 要本论文讨论的目的是利用控制台研究分析汽车的行车制动器综合性能。由于车辆设计过程中条件的限制，无法对制动器实施路测，于是用制动器试验台来仿真模拟实现整个路测的过程。该试验要求试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。为了达到这个目的，我们需要对试验台进行驱动电流调节，以保证试验台主轴与飞轮组等刚性设备产生的机械惯量与汽车车轮在路测时拥有的转动惯量相同。本论文首先根据机械动力学的相关知识，提出了仿真试验中待测车轮转动惯量与给定试验台主设备（主轮与飞轮组）的机械惯量的具体计算方法。并利用该方法结合题目一二给出的条件进行了相关计算。关于试验台驱动电流的确定与控制，本文利用试验台模拟的等效转动惯量和驱动电流产生的转动惯量、试验台机械惯量的关系，扭矩与转动惯量之间的关系，以及驱动电流与其转动扭矩之间的关系等，构造出了一种实时确定驱动电流的数学模型。并利用该模型对题目三给出的一个理想情况下的路测过程进行了驱动电流的取定。问题四要求利用试验数据来评价相应电流控制方法的优劣。本文主要采用的是计算能量误差的大小。路试时消耗的制动器能量，用理想状态的能量守恒来计算，试验台上的制动器能量消耗则通过对过程的离散化，累积各小段能量耗损获得。在问题五和六中，本文相继提出了两种电流的控制方法。第一个是基于速度控制的思想，即通过实时调节电流的大小，以保证试验台主轴的转速与理想路测情况下车轮的转速尽可能相同。针对该模型，本文设计了一个随机模拟试验。通过对该试验数据的分析，可知该模型制动器耗能偏差小，但电流控制不稳定。改进的模型应用了电流修正法。对下一个时刻电流的确定通过电流变化的一阶和二阶偏差进行修正。这样有力的保证了模型的收敛性，同时通过试验仿真知，该模型下的能量偏差较小，是一种比较理想的控制方法。总之，本文通过力学和能量物理中相关的知识，从仿真的角度建立了试验台驱动电流确定与控制模型，同时，也给出了评价控制方法优劣的一个可行性方法。并在评价标准下，对题目给出试验数据以及所建模型都一一进行了评价。关键字：制动试验台 等效转动惯量 机械惯量 驱动电流 扭矩 能量一、问题的重述与分析汽车的行车制动器（简称制动器）联接在车轮上，其作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上做模拟试验。原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就完成一次制动。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，对应试验中等效转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量和再加上基础惯量称为机械惯量。例，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kgm2，基础惯量为10 kgm2，则可以组成10，20，30，160 kgm2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kgm2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kgm2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/Nm）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，该能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。本文研究的问题为：1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kgm2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二、模型的假设与符号说明2.1 模型假设1) 路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，轮胎与地面无滑动；2) 模拟实验中，试验台主轴的角速度与所模拟的路试车轮的角速度始终一致；3) 在车轮路试时，忽略车轮本身所具有的能量；4) 试验台飞轮的质量分布是均匀的；5) 在试验台中忽略除主轴等不可拆卸机构的惯量与飞轮所具有的转动惯量之外的其他零件所具有的惯量形式；6) 试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩严格成正比，比例系数为1.5 A/Nm；7) 在试验台加载电流与制动力时不考虑反应时间，即认为加载时相应的力矩建立的时间是即时的；8) 不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差，即在试验过程中所有可观测的数据均为真实值；9) 不考虑试验台试验过程中因摩擦、设备振动等原因造成的能量损失。2.2 符号说明：所测试车轮的滚动半径；：所测试车轮对应的负载；：重力加速度；：车轮所具有的转动惯量，亦即试验台模拟的等效转动惯量；：试验台上的主轴等不可拆卸机构说对应的基础惯量；：试验台上飞轮的惯量之和；：试验台在测试过程中的机械惯量；：试验台采用的电动机的驱动电流补偿机械惯量不足而缺少能量所等效对应的转动惯量； ：试验台工作时主轴的瞬时扭矩，即总的制动力扭矩； ：试验台驱动电流产生的扭矩；：由试验台机械惯量产生的扭矩；：汽车开始制动时的车速；： 汽车终了时的车速；：试验台主轴开始制动时的转速；： 试验台主轴终了时的转速；三、模型的建立与求解3.1问题一的解答过程本问题考虑对单个前轮进行综合测试。由于不考虑车轮自身所具有的能量，故而将该前轮及其承受的负载可看成一个独立的系统。该系统所有的能量即为该车平动时所具有的动能。制动器做制动试验时，要求其转动动能与汽车系统能量相同。故而由动能的概念， 得知，在一定终止条件下的模拟试验过程中，汽车的动能变化与试验台的动能变化应满足：可得：根据题目所给条件：载荷，车轮滚动半径，取重力加速度 ，代入公式得等效的转动惯量3.2问题二的解答过程在试验台进行制动试验时，我们通过调节飞轮组飞轮的个数来调节试验台可等效的转动惯量。对于一个飞轮而言，其几何形状为环体，由机械动力学知识，可到的任一个外直径、内直径、厚度为、材质密度为的飞轮对应的转动惯量公式1为现将三个飞轮的相关数据代入上式，即可得到三个飞轮各自的转动惯量为，题目已知基础惯量。由机械惯量与基础惯量、飞轮惯量的关系，结合排列组合的知识，可得到所能组成的机械惯量共有8组，分别为， ， ， ，用表格可直观表示为（从小到大）12345678由于电动机能补偿的惯量范围为 -30, 30 kgm2。则对于问题一中等效的转动惯量，能采取的能量补偿方案有两个：方案一：采用机械惯量，这需要补充的惯量方案二：采用机械惯量，这需要补充的惯量3.3 问题三的解答过程3.3.1驱动电流依赖于可观测量的数学模型建立本问题要求建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。根据题目说明，试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。根据文献23的说明，工程上可测的瞬时扭矩指的是制动力产生的扭矩。这样对任意时刻而言，试验台主轴的瞬时转速、制动力扭矩可测。根据试验台制动原理，由文献3可知，制动器试验台的制动过程存在如下关系： （1）其中，为总的制动力矩，为制动台等效转动惯量。为主轴角速度。对于纯机械惯量系统，完全由试验台机械惯性来模拟。而对于机械惯量和电惯量混合模拟的系统，由两部分组成，一部分是试验台机械转动惯量，另一部分是电动机模拟的电惯量，即 （2）将（2）式代入（1）式，得到从而有由题目所给条件设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，且比例系数取1.5 A/Nm，即驱动电流。于是，可以构造电动机驱动电流依赖于可观测量制动力扭矩的数学模型为：对于车轮而言，其等效平动的线速度与角速度满足同时，由，得到 （3）3.3.1利用数学模型解题在题目设定条件下，制动减速度为常数，知整个转动过程角加速度为常数。给定的初速度，末速度，制动时间为，车轮滚动半径，可得到车轮整个过程的角加速度为根据第二问条件，可行的补充驱动电流可选方案为两个，分别为，在这两种补偿方案下，可增加的驱动电流值分别为， 其中负号表示添加电磁力的方向与拖动主轴转动方向的力矩相反。3.4 问题四的解答过程由题目可知，评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。在理想的路试条件下，由于轮胎与地面的摩擦力为无穷大，轮胎与地面无滑动。故而路试时车轮由初始状态转/分钟到末状态转/分钟所产生的能量消耗完全是由制动器损耗的。从而，路试时的制动器的能量消耗为焦耳在试验条件下，由于制动器性能的复杂性，工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。从题目数据给出的试验数据画出制动力扭矩、主轴转速与时间变化的关系，如图一所示。从图可看出，试验过程中制动力扭矩并不是一个定值，同时试验开始阶段出现了比较明显的反应延迟。图 1 试验台制动力扭矩与主轴转速与时间的变化为了计算整个试验过程中制动力所消耗能量，我们将整个过程离散化，分别计算各个小时间段的制动力耗能，然后累加求和。在任意小段时间中，将制动力扭矩看成恒定的，取用这个小段时间中的平均扭矩，同时设角速度变化均有，则角加速度为。则这段时间制动力耗能同时，则有从而可得到，整个过程制动力耗能为 焦耳理想路测与试验台上制动器耗能偏差为 焦耳偏差率为可见，题目所给的试验数据结果整体模拟效果良好。基本上反映了实际路测的制动过程。3.5 问题五的解答过程3.51 电流控制方法的确定根据惯量电模拟的基本原理，是要使试验台系统在电惯量补充情况时，整个试验台系统的动力特征与路测车辆的动力特征一致，即要求转速的变化一致。首先，给定某个试验初始转速，终了转速，设定试验时间，通过计算得到制动台等效转动惯量为，机械转动惯量为，则在理想路测状态下，由问题三建立的数学模型得到理想状态下的电流在分段考虑整个过程时，下一时刻的速度值就由上一时刻的速度值和当前降速求得。即在制动器试验台上，由于各种扰动或其他外界因素的影响，其任一时刻的速度可能会有实际路测存在偏差。假设，在某时刻测得的角速度与理想的存在偏差：理想情况下，从此刻到下一刻角速度的理想偏差为这样要想在下一时刻试验台上主轴上的转速与理想情况相同，速度总的变化量需要为时间间隔为，故而在这段时间内，主轴需要生成的加速度为得此时刻施加电流控制方法为3.52 电流控制方法的评价为了比较合理的对上述模型进行评价，我们采用计算机模拟的办法。把试验台上的过程看成是理想过程与随机扰动的和过程。为了合理的反映系统的随机扰动，我们采用计算机随机取点的方法进行生成。具体做法为：首先，在已知的上一问题的试验系统过程中，可以将相邻时间段的转速偏差表示出来，如图2所示。这组数据比较真实的反映了实际测试过程中干扰的情况。利用该数据规律，对这些偏差数据采用随机取点，这样就能构成一组新的扰动偏差，如图3所示。由于取点的随机性以及取点的局限性，这组随机偏差能比较客观的反映现实。图表 2 题目所给试验主轴转速偏差图表 3 模拟的随机扰动对主轴造成的转速偏差将系统随机造成的转速偏差加入到系统模拟中。也就是在每次在计算下一时刻的转速时，首先利用上述公式计算得到理论上调整后的转速度为，然后在此基础上增加该时刻内系统随机因素造成的速度扰动，得到最终该时刻的转速为。在计算各个时刻转速的同时，计算相应的制动力扭矩调整。其计算公式为其中为理想状态值。为该阶段观察值。利用上述方法，重复问题4中的计算过程，得到在图3所示的随机扰动下的制动力耗能为 焦耳理想路测与试验台上制动器耗能偏差为 焦耳偏差率为从能量的角度可以看到，该方法在理论上是一种具有良好性能的控制方法。能量偏差比较小。当然其缺点也比较明显，具体内容如问题六解答。3.6 问题六的解答过程在上述的电流控制方法中，电流扭矩、制动力扭矩反应的即时性较强，在实际试验台测试中比较难以达到。同时由于扭矩反应的即时性，制动力、电流对随机干扰比较敏感，波动较大，收敛性不好。其制动力力矩的大体变化趋势与图3比较接近。为了解决上面提到的问题，我们对模型进行改进，采用调整策略，也就是在原来电流基础上进行一定幅度的调整。具体的思想为 （4）使用二次差分的原因是为了保证试验系统的稳定性。对于（4）式中系数、的确定，本文采用最小二乘拟合的方法。根据问题四描述，题目所给的试验数据是真实的试验数据，能过反映试验台的真实情况，且该试验对电流的控制方法比较好（制动力能量耗损5.43%）。故而一个好的模型在一定程度上应该对题目所给数据具有良好的吻合性。利用这点，本文应用题目所给试验数据，对（4）式进行拟合计算。（见附录程序三）从而有 （5）利用（5）式，重新在同样的试验条件下模拟计算各个阶段新的扭矩与转速，从而可得到该模拟条件下制动力的耗能设定模拟试验初始条件与已知数据对应的初始条件相同。亦即由于，且电流与制动力扭矩满足，可得下一时刻制动力扭矩可表示为 在任意小时间段内，制动力矩消耗能量与角速度变化的关系从而有这样就可以得到该方法下模拟的物理量值，具体计算过程参看附录程序四。按照之前同样的方法，算得该方法下，试验台制动力耗能为 焦耳理想路测与试验台上制动器耗能偏差为 焦耳偏差率为从能量角度来看，制动力消耗能量偏差较小。同时，观察制动力扭矩、主轴转速随时间变化曲线如图4。从图像看出，经过几步调节后扭矩基本可以保持稳定，由于电流与扭矩之间存在正比关系，故扭矩曲线基本也反映了电流的变化。整个过程转速平稳下降，满足试验台要求。整体而言是一个比较好的控制方法。但是制动力矩的变化稳中有降，和现实稍有偏差，引起该现象的原因有待进一步分析。四、总结与评价总之本文从机械动力学知识出发，推导出了计算等效转动惯量的方法，对题目所给的计算转动惯量的题目以合理的解答。同时，针对电补充转动惯量的试验台装置，我们建立了利用观察数据建立相应补偿电流的模型，同时提出了评价电流控制方法优劣的可行性方案，该方法从制动力能量消耗偏差入手，将对实验室中原本变化的过程的能量消耗过程通过离散化求和的方法得以实现。同时，本文也提出了两种电流控制方法。第一种方法利用的是控制速度法。就是将保持试验室内主轴的转动速度与路测车轮转动速度尽量相同为目标。无论从理论还是从本文设计的随机模拟实验来看，这个模型对扰动的反应都比较灵敏。电流波动较大，不容易控制，也不利于系统稳定。在改进的方法中，该弊端得到大大改进，并且系统的能耗偏差也比较理想。本文存在的问题也很多，尤其是对最后两个电流控制方法上的进一步研究不够深入。同时，对试验过程中数据与结果表现出来的某些不合理现象没有给出很好的解释，有待进一步发展。参考文献：1 张三慧.大学基础物理学（上）.北京：清华大学出版社，2007.11：146-1572 张彪,刘昭度,李志远,王仁广.机械转动惯量电模拟系统设计与试验.农业机械学报,2007,38(5):37-423 马继杰.制动器惯性台架试验机测量控制系统的研究.吉林大学硕士论文.2006附录：程序一：计算能量data_std=A(:,1) A(:,2)*2*pi/60 A(:,3);m,n=size(data_std);for i=1:(m-1) d_energe(i)=(data_std(i,1)+data_std(i+1,1)/4*(data_std(i,2)+data_std(i+1,2)*0.01;endEn=sum(d_energe)程序二：随机模拟偏差for i=1:467 diff_v(i)=data_std(i,2)-data_std(i+1,2);endplot(data_std(2:468,3),diff_v)for i=1:467 rnd_diff(i)=diff_v(fix(rand*467)+1);endfigureplot(data_std(2:468,3),rnd_diff)程序二：模拟试验能量及相关数据y1=0 rnd_diff;y1=y+y1;for i=1:467 jia_sudu(i)=(y1(i)-y(i+1)/0.01; niu_ju(i)=1/2*48*jia_sudu(i);endm,n=size(niu_ju);M_energe=0;for i=1:(n