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1 1 1正弦定理 中国人民大学附属中学 直角三角形中 斜三角形中这一关系式是否仍成立呢 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 当 abc是锐角三角形时 设边ab上的高是cd 根据任意角三角函数的定义 有cd 则 同理可得 从而 再看钝角三角形的情况 如图 当 abc是钝角三角形时 延长ab作ab的高cd 根据任意角三角函数的定义 有cd bsina 在 bcd中 cd asin 180 b asinb 因此 所以 同理可得 从而 在一个三角形中 各边的长和它所对角的正弦的比相等 即 正弦定理 变式 用向量来研究正弦定理的证明 过点a作 由向量的加法可得 则 所以 所以 下略 从理论上 正弦定理可解决两类问题 1 已知三角形的两角和一条边 求其他两边和第三角 2 已知三角形的两边和其中一边对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 正弦定理的应用 例1 已知 abc 根据下列条件求相应的三角形中其他边和角的大小 保留根号或精确到0 1 1 a 60 b 45 a 10 2 a 3 b 4 a 30 3 c 6 b 120 1 a 60 b 45 a 10 解 因为 c 180 60 45 75 所以由正弦定理得 2 a 3 b 4 a 30 由正弦定理得 因此 b 41 8 或 b 138 2 当 b 41 8 时 c 108 2 当 b 138 2 时 c 11 8 3 c 6 b 120 由正弦定理得 因此 c 45 或 c 135 因为 b 120 所以 c 60 c 45 a 180 b c 15 再由正弦定理求得a 2 2 例2 如图在 abc中 a的平分线ad与边bc相交于点d 求证 证明 在 abd和 cad中 由正弦定理 得 两式相除得 例3 在 abc中 sina 试判断 abc的形状 解 由条件得 所以 因为 所以 又因为0 a 所以 所以 abc是直角三角形 例4 在 abc中 c c 30 求a b的最大值 解 因为 所以 a b 180 c 150 从而 所以a b的最大值是 练习 1 在 abc中 若 a 2 且三角形有解 则a的取值范围是 a 0 a 30 b 0 a 45 c 0 a 90 d 30 a 60 b 2 在 abc中 若则 abc一定是 a 等腰三角形 b 等腰直角三角形 c 直角三角形 d 等边三角形 d 3 在 abc中 分别根据下列条件解三角形 其中有两解的是 a a 7 b 14 a 30 b a 30 b 25 a 150 c a 72 b 50 a 135 d a 25 b 30 a 30 d 4 在 abc中 a
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