热力学统计物理中的Legendre变换.pdf

第 2 2卷第 5期 2 0 0 6年 1 0月 商 丘 师 范 学 院 学 报 J OURNAL OF S HANGQI U TEACHERS C OLL EGE Vo 1 2 2 No 5 Oc t o b e r 2 0 0 6 热力学统计物理 中的 L e g e n d r e 变换 王 保 玉 商丘师范学院 物理与信息工程系 河南 商丘 4 7 6 0 0 0 摘要 试图以特性函数为起点 从 L e g e n d r e 变换出发 研究热力学统计物理理论的系统性 关键词 系统 参量 态函数 特性函数 L e g e n d r e变换 中图分类号 04 1 4 2 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 2 3 6 0 0 2 0 0 6 0 5 0 1 6 6 0 4 Th e r mo dy na m i c s s t a t i s t i c a l ph y s i c s o f t h e Le g e n dr e t r a ns f o rm a t i o n W ANG B a y u D e p a r t me n t o f P h i c s a n d I n f o r ma t i o n E n g i n e e r i n g S h ang q i u T e a c h e r s C o l l e g e S h a n g q i u 4 7 6 0 0 0 C h i n a Ab s t r a c t Th i s a r t i c l e a t t e mp t s t o i d e n t i t y f u n c t i o n a s a s t art i n g p o i n t s t art i n g f r o m t h e L e g e n d r e t r a n s f o r ma t i o n s t u d y t h e s y s t e ma t i c o f t h e r mo d y n a mi c s t a t i s t i c a l p h y s i c s t h e o r y Ke y wo r d s s y s t e m p a r am e t e r a t t i t u d e f u n c t i o n i d e n t i t y f u n c t i o n L e g e n d r e t r a n s f o r ma t i o n 0 引言 在一般的热力学统计物理教科书中 其理论系统的系统性较差 本文从 L e g e n d r e 变换出发 针对热力学统计物理理论的系 统性进行研究 1 L e g e n d r e变换 设函数 则 d 厂 Xd a yd y Zd z 其中 x y z 一 X Y Z 仍是以 3 2 Y 为变量的函数 若把 X X 进行变换 或 Y z 写成 72 x 那么 x 一 x 若定义函数 g x 7一Y a 厂一x r 贿 塑 y 3g ax 3z a 一 由 1 式到 4 式定义为函数 f到函数g的 L e g e n d r e 变换 从 3 式及 5 式可以看出具有对称性 2 基本热力学函数的 L e g e n d r e变换 在热力学统计物理中 系统的基本热力学函数为内能 熵 温度 以内能为例 U U s v N 收稿 日期 2 0 0 6 0 3 1 0 作者简介 王保玉 I 9 6 3 一 男 河南永城人 商丘师范学院讲师 主要从事理论物理的教学与研究工作 1 2 3 4 5 6 维普资讯 第 5期 王保玉 热力学统计物理中的 I a e g e n d r e变换 1 6 7 则 d u d s d V 一 d N 其 中 O U 一 P 一 对 内能函数进行 L e g e n d r e 变换得 f H u P l F U I G U T S PV J U 一 丁s N 辅助热力学函数应满足 l d H 二 d Vd P d N I j d F 一s c T Pd V d N j d G 一 S d T十 Vd P十 u d N 十 L d J 一Sd T Pd V Nd l2 f S T P N 一 j a a a r 筹一s O EF P 亍 一 a 一 T 一 s a p 一 N j a a P 弊一s 一P 7 8 9 1 0 儿 9 1 0 儿 恰好是辅助热力学函数及其偏微分方程和偏微分关系 3 统计物理中的特性函数及其 L e g e n d r e 变换 统计物理中系综理论是基本的理论体系 而经典统计和量子统计是该理论特例 在系综理论中 通常把系统按不同类型 的宏观条件 形成不同的系综 最常用的系综l 3 有 微正则系综 具有同样 E N 值的体系组成的系综 其标本体系为孤立 系统 正则系综 具有同样 了 N值的体系组成的系综 其标本体系为封闭系统 巨正则系综 具有同样的 T V 值的体系 组成的系综 其标本体系为开放系统 另外 具有同样 丁 P N值的体系组成的系综即等温等压系综 其标本体系为恒压封闭 系统 针对不同的系综有不同的配分函数或特性函数 可以对它们分别进行讨论 3 1微正则系综 体系的微观态数 n是状态参量的函数 则 1 2 1 2 L N 而系统的熵为 S k t n q 这说明熵应是 u N的函数 即 s S L v N 那么 该函数改写为 U u s v N 而 u s N 为该体系的特性函数 借助于 6 7 8 及相应的L e g e n d r e 变换 式 9 1 0 1 1 完全可以解决系统的所有的问题 3 2 正则系综 体系的特性函数为 H e l mh o l t z自由能 F 且 F 一k T l n q 正则系综的配分函数 应为 T v N 那么 F F T v N 1 2 则 d F 州d T 十 刖d d N 即d F 一S d 7 一P d d N 1 3 其中 对 F进行 L e g e n d r e 变换得 则有 蓦 一 s 募 一P 4 U F T S f 1 5 维普资讯 l 6 8 商丘 师范学 院学报 2 0 0 6笠 3 3 巨正则系综 体系的特性函数为巨热力势 且 d 则 即 其中 对 进行 L e g e n d r e 变换得 则有 3 4 等温等压系综 体系的特性函数为 Gi b b s自由能 G 且 G 则 即 其中 对 G进行 I g e n d r e 变换得 l dU I d S Pd d N I d H Td S Vd P l a d N d G 一 SdT Vd P u d N C L 一 s d T P d N d a s T V 一P N 一 a 一 a S T a p N a 一 一 a T 一 s a N a 一 a P 一 一 T 5 V 一 P 一N a J a 一 a 一 k Tl n 2 巨正则系综的配分函数 三 量 r 那么 T v d j a T d T O V d V y fi d 4 Sd T Pd V Nd l a 券 一 s 一 P 一 N f U J T 5 H J T S N PV F l G J N PV f dU d Y i d V adN I d H Td S Vd P d N l d F 一 Sd T PdV l a d N d G 一Sd T Vd P la d N S T V 一P N a 一 a 一 a a s T N 一 a P 一 a 筹 T s V 一 P N a 一 a 一 a 一 a T 一 s a N 一 a P 一 一 一 k Tl n x 等温等压系综的配分函数 x T P N 那么 G G T P N d G 行a Gd 1 d P a Gd N d G 一 Sd T Vd P la d N 一 s f U G T S P H G TS l F G PV Y G P M 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 维普资讯 第 5 期 王保玉 热力学统计物理中的 L e g e n d r e 变换 1 6 9 则有 l dU 1 db 一 d V 十 d l d H Y d S十 Vd P十 d N l d F 一S d T Pd V 十 d N d J 一S d T Pd V Nd ff a s T v 一 P 8 N 一 a 一 一 a s 8 p V 8 N 一J 一V 一 T 一s V 一 P N a J a 一 a 一 P a 3 j 一 NT V a a 一 a 一 2 8 2 9 4 L e g e n d r e 变换在热力学统计物理中的地位及影响 由2 3 两部分可知 无论在热力学还是在统计物理中 只要有系统的基本热力学函数 或特性函数 就可以借助 L e g e n d r e 变换从不同角度全面系统地研究系统的热力学性质 4 1 在研究方法上的多途径 对同一热力学系统 热力学中可以借助实验上得出的不同热力学函数 或规律 作为出发点 借助于 L e g e n d r e 变换进行研 究 而统计物理中借助于不 同理想模型从理论上得到相应配分函数 或特性函数 借助于 L e g e n d r e 变换进行研究 4 2理论的系统性 L e g e n d r e 变换在热力学统计物理中起到承上启下作用 即可以从一个函数为起点借助于 L e g e n d r e 变换全面系统地研究热 力学系统 使函数及其方程和微分关系更密切地联系在一起 把系统的状态 方程 物性及其规律更好地联 系在一起 使理论 更具有系统性 4 3理论的广泛性 L e g e n d r e 变换的引入 不仅可以研究不同系统 如磁 介 质 电介质等 的状态 还可以研究系统的过程的规律性 如系统过 程的方向性 对孤立系 d s 0 通过 1 w g e n d r e 变换得其它系统应有 d F 0或 d G 0 因此 L e g e n d r e 变换是联系态函数 过程规律 物性的纽带 它的引入是热力学统计物理的理论 系统模式化 即系统态函数 及其偏微分方程和偏微分关系 它们构成系统的状态及过程和物性的基本理论 为系统规律的研究提