抛物线的应用.doc

探究抛物线中特定三角形的存在性以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一，同时要学会将大题分解为小题，各个击破，本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例，说明这类问题的解题策略一、抛物线中等腰三角形的存在性例1（湖南湘西州中考题）如图1，已知抛物线yx2bx4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点坐标为A（2，0）(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；(2)求C点坐标，连结AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；(3)试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由解 (1)易得抛物线解析式为配方得，y，所以对称轴方程为x3；(2)在中，令x0，则y4，所以点C(0，4).令y0，则解得x18，x22，A（2，0），B(8，0).设直线BC的解析式为ykxb，把B(8，0)，C(0，4)的坐标分别代入解析式，解得直线BC的解析式为；(3) AOCCOB理由：在AOC与COB中OA2，OC4，OB8，又AOCBOC90，AOCCOB；(4)因为抛物线的对称轴方程为x3，Q点在对称轴x3上，如图2点评 本题点的移动贯穿始终，其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论，在具体求点Q坐标时，还要充分注意图形的几何特点，利用数形结合思想二、抛物线中的直角三角形的存在性例2（广州市中考题）如图3，抛物线yx2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E(4，0)，M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式解 (1)A（4，0），B(2，0)（过程略）； (2)因为抛物线yx2x3的对称轴为x1，与y轴交点C的坐标为(0，3)，所以直线AC的解析式为yx3 且当x1时，有y，所以直线AC与对称轴x1的交点H的坐标为（1，） 因为AB6，CO3，所以ACB的面积为，SACE9 不妨设点D的坐标为（1，m），如图4，则ACD的面积为SACDDHAO9 当点D位于AC上方时，DHm， 代入解得m； 当点D位于AC下方时，DHm， 代入解得m所以点D的坐标为 （1，），或（1，）(3)如图5，以AB为直径作P，当且仅当直线l与P相切时符合题意因为RtPME中，PME90，PM3，PE5，所以由勾股定理，可得ME4利用三角形相似可以求得点M的坐标M（，）设直线l的解析式为y=kx+b，代入M（，），E(4，0)，解得，即所以直线l的解析式为yx3同理可得直线l的另一个解析式为yx3点评 此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用，这是初中阶段的重点，解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考，第3问具有较高的区分度，对学生的能力要求特别高，学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力三、抛物线中相似三角形的存在例3 （山东日照中考题）已知，如图6，抛物线yax2bxc经过点A（x1，0），B(x2，0)，C(0，2)，其顶点为D以AB为直径的M交y轴于点E、F，过点E作M的切线交x轴于点NONE30， (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)连结AD、BD，在(1)中的抛物线上是否存在一点P，使得ABP与ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图7，点Q为弧EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AHAQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 (2)如图8，由抛物线的对称性可知：ADBD，ADB为等腰三角形若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使ABP与ADB相似，必须有BAPBPABAD设AP交抛物线的对称轴于D点，显然同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点所以在该抛物