正弦函数余弦函数.ppt

28 1锐角三角函数 1 学习目标 1 理解正弦函数的意义 掌握正弦函数的表示方法 2 能根据正弦函数的定义计算直角三角形中一个锐角的正弦函数值 3 通过经历正弦函数概念的形成过程 培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法 重点 对正弦函数定义的理解及根据定义计算锐角的正弦函数值 难点正弦函数概念的形成 问题 为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30 为使出水口的高度为35m 那么需要准备多长的水管 这个问题可以归结为 在Rt ABC中 C 90 A 30 BC 35m 求AB 根据 在直角三角形中 30 角所对的边等于斜边的一半 即 可得AB 2BC 70m 也就是说 需要准备70m长的水管 分析 情境探究 在上面的问题中 如果使出水口的高度为50m 那么需要准备多长的水管 结论 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么不管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于 A B C 50m 35m B C AB 2B C 2 50 100 m 在Rt ABC中 C 90 由于 A 45 所以Rt ABC是等腰直角三角形 由勾股定理得 因此 即在直角三角形中 当一个锐角等于45 时 不管这个直角三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比都等于 综上可知 在一个Rt ABC中 C 90 当 A 30 时 A的对边与斜边的比都等于 是一个固定值 当 A 45 时 A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值 一般地 当 A取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值 结论 问题 在图中 由于 C C 90 A A 所以Rt ABC Rt A B C 这就是说 在直角三角形中 当锐角A的度数一定时 不管三角形的大小如何 A的对边与斜边的比也是一个固定值 并且直角三角形中一个锐角的度数越大 它的对边与斜边的比值越大 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做 A的正弦 sine 记作 sinA即 例如 当 A 30 时 我们有 当 A 45 时 我们有 c a b 对边 斜边 正弦函数 例1如图 在Rt ABC中 C 90 求sinA和sinB的值 解 1 在Rt ABC中 因此 2 在Rt ABC中 因此 A B C A B C 3 4 13 例题示范 5 练一练 1 判断对错 1 如图 1 sinA 2 sinB 3 sinA 0 6m 4 SinB 0 8 sinA是一个比值 注意比的顺序 无单位 2 如图 sinA 2 在Rt ABC中 锐角A的对边和斜边同时扩大100倍 sinA的值 A 扩大100倍B 缩小C 不变D 不能确定 C 练一练 根据下图 求sinA和sinB的值 A B C 3 5 练习 根据下图 求sinA和sinB的值 A B C 1 练习 练习 如图 Rt ABC中 C 90度 CD AB 图中sinB可由哪两条线段比求得 解 在Rt ABC中 在Rt BCD中 因为 B ACD 所以 求一个角的正弦值 除了用定义直接求外 还可以转化为求和它相等角的正弦值 28 1锐角三角函数 2 如图 在Rt ABC中 C 90 当锐角A确定时 A的对边与斜边的比就随之确定 此时 其他边之间的比是否也确定了呢 为什么 当锐角A的大小确定时 A的邻边与斜边的比我们把 A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 cosine 记作cosA 即 情境探究 1 sinA cosA是在直角三角形中定义的 A是锐角 注意数形结合 构造直角三角形 2 sinA cosA是一个比值 数值 3 sinA cosA的大小只与 A的大小有关 而与直角三角形的边长无关 如图 在Rt ABC中 C 90 正弦 余弦 当直角三角形的一个锐角的大小确定时 其对边与邻边比值也是惟一确定的吗 在直角三角形中 当锐角A的度数一定时 不管三角形的大小如何 A的对边与邻边的比是一个固定值 如图 Rt ABC和Rt A B C C C 90 A A 由于 C C 90 A A 所以Rt ABC Rt A B C 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A的正切 记作tanA 一个角的正切表示定值 比值 正值 思考 锐角A的正切值可以等于1吗 为什么 可以大于1吗 对于锐角A的每一个确定的值 sinA cosA tanA都有唯一的确定的值与它对应 所以把锐角A的正弦 余弦 正切叫做 A的锐角三角函数 例2如图 在Rt ABC中 C 90 AB 10 BC 6 求sinA cosA tanA的值 解 又 例题示范 10 变题 如图 在Rt ABC中 C 90 cosA 求sinA tanA的值 解 例题示范 设AC 15k 则AB 17k 所以 下图中 ACB 90 CD AB 垂足为D 指出 A和 B的对边 邻边 试一试 BC AD BD AC 如图 在Rt ABC中 锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍 tanA的值 A 扩大100倍B 缩小100倍C 不变D 不能确定 C 试一试 例3 如图 在Rt ABC中 C 90 例题示范 1 求证 sinA cosB sinB cosA 2 求证 3 求证 例4 如图 已知AB是半圆O的直径 弦AD BC相交于点P 若 例题示范 那么 B 变题 如图 已知AB是半圆O的直径 弦AD BC相交于点P 若AB 10 CD 6 求 小结 如图 Rt ABC中 C 90度 因为0 sinA 1 0 sinB 1 tanA 0 tanB 0 0 cosA 1 0 cosB 1 所以 对于任何一个锐角 有0 sin 1 0 cos 1 tan 0 1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值 余弦值和正切值 练习 解 由勾股定理 2 在Rt ABC中 如果各边长都扩大2倍 那么锐角A的正弦值 余弦值和正切值有什么变化 解 设各边长分别为a b c A的三个三角函数分别为 则扩大2倍后三边分别为2a 2b 2c 3 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 8 tanA 求 sinA cosB的值 A B C 8 解 4 如图 在 ABC中 AD是BC边上的高 tanB cos DAC 1 求证 AC BD 2 若 BC 12 求AD的长 5 如图 在 ABC中 C 90度 若 ADC 45度 BD 2DC 求tanB及sin BAD 在Rt ABC中 及时总结经验 要养成积累方法和经验的良好习惯 定义中应该注意的几个问题 1 sinA cosA tanA是在直角三角形中定义的 A是锐角 注意数形结合 构造直角三角形 2 sinA cosA tanA是一个比值 数值 3 sinA cosA tanA的大小只与 A的大小有关 而与直角三角形的边长无关 28 1锐角三角函数 3 A B C A的对边 A的邻边 A的对边 A的邻边 tanA cosA A的邻边 A的对边 斜边 sinA 斜边 斜边 回顾锐角三角函数如图 设30 所对的直角边长为a 那么斜边长为2a 另一条直角边长 30 60 45 45 活动1 设两条直角边长为a 则斜边长 30 45 60 角的正弦值 余弦值和正切值如下表 仔细观察 说说你发现这张表有哪些规律 例1求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 解 1 cos260 sin260 1 2 0 例2 操场里有一个旗杆 老师让小明去测量旗杆高度 小明站在离旗杆底部10米远处 目测旗杆的顶部 视线与水平线的夹角为30度 并已知目高为1 65米 然后他很快就算出旗杆的高度了 1 65米 10米 你想知道小明怎样算出的吗 应用生活 30 应用新知 例3 1 如图 在Rt ABC中 C 90 AB BC 求 A的度数 2 如图 已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍 求 1 2 例4如图 在Rt ABC中 ACB 90度 CD AB于D 已知 B 30度 计算的值 例5如图 在 ABC中 A 30度 求AB 解 过点C作CD AB于点D A 30度 求下列各式的值 1 1 2sin30 cos30 2 3tan30 tan45 2sin60 3 练习 解 1 1 2sin30 cos30 2 3tan30 tan45 2