求二次函数的函数关系式.ppt

二次函数的几种解析及求法 二次函数是初中代数的重要内容之一 也是历年中考的重点 这部分知识命题形式比较灵活 既有填空题 选择题 又有解答题 而且常与方程 几何 三角等综合在一起 出现在压轴题之中 因此 熟练掌握二次函数的相关知识 会灵活运用一般式 顶点式 交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键 一 二次函数常用的几种解析式的确定 已知抛物线上三点的坐标 通常选择一般式 已知抛物线上顶点坐标 对称轴或最值 通常选择顶点式 已知抛物线与x轴的交点坐标 选择交点式 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 4 平移式 将抛物线平移 函数解析式中发生变化的只有顶点坐标 可将原函数先化为顶点式 再根据 左加右减 上加下减 的法则 即可得出所求新函数的解析式 二 求二次函数解析式的思想方法 1 求二次函数解析式的常用方法 2 求二次函数解析式的常用思想 3 二次函数解析式的最终形式 待定系数法 配方法 数形结合等 转化思想 解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解 最后结果最好化为一般式 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法一 一般式 设解析式为 顶点C 1 4 对称轴x 1 A 1 0 与B关于x 1对称 B 3 0 A 1 0 B 3 0 和C 1 4 在抛物线上 即 三 应用举例 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法二 顶点式 设解析式为 顶点C 1 4 又 A 1 0 在抛物线上 a 1 即 h 1 k 4 三 应用举例 x1 x2 求出下表中抛物线与x轴的交点坐标 看看你有什么发现 1 0 3 0 2 0 1 0 4 0 6 0 x1 0 x2 0 y a x x a 0 交点式 观察发现 x1 x2 求出下表中抛物线与x轴的交点坐标 看看你有什么发现 1 0 3 0 2 0 1 0 4 0 6 0 x1 0 x2 0 y a x x a 0 交点式 y a x 1 x 3 a 0 y a x 2 x 1 a 0 y a x 4 x 6 a 0 观察发现 解法三 交点式 设解析式为 抛物线与x轴的两个交点坐标为A 1 0 B 3 0 y a x 1 x 3 又C 1 4 在抛物线上 4 a 1 1 1 3 a 1 y x 1 x 3 即 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 三 应用举例 评析 刚才采用一般式 顶点式和交点式求解 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便 同时也培养学生一题多思 一题多解的能力 从不同角度进行思维开放 解题方法开放的培养 注重解题技巧的养成训练 可事半功倍 2015年中考数学命题趋势 贴近学生生活 联系实际 把实际问题转化为数学模型 培养学生分析问题 解决问题的能力 增强学以致用的意识 各种求解析式的已知形式 例3 将抛物线向左平移4个单位 再向下平移3个单位 求平移后所得抛物线的解析式 解法 将二次函数的解析式 转化为顶点式得 1 由向左平移4个单位得 左加右减 2 再将向下平移3个单位得 上加下减 即 所求的解析式为 三 应用举例 1 已知二次函数的图像过原点 当x 1时 y有最小值为 1 求其解析式 四 尝试练习 解 设二次函数的解析式为 x 1 y 1 顶点 1 1 又 0 0 在抛物线上 a 1 即 2 已知二次函数与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 点 0 1 在图像上 求其解析式 解 设所求的解析式为 抛物线与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 又 点 0 1 在图像上 a 1 即 四 尝试练习 一般式 例1求经过有三点A 2 3 B 1 0 C 2 5 的二次函数的解析式 分析 已知一般三点 用待定系数法设为一般式求其解析式 顶点式 例2已知抛物线的顶点为D 1 4 又经过点C 2 5 求其解析式 D 交点式 例3已知抛物线与x轴的两个交点为A 3 0 B 1 0 又经过点C 2 5 求其解析式 充分利用条件合理选用以上三式 例4已知抛物线的顶点为A 1 4 又知它与x轴的两个交点B C间的距离为4 求其解析式 分析 先求出B C两点的坐标 然后选用顶点式或交点式求解 南通市 已知抛物线y ax2 bx c经过A B C三点 当时 其图象如图所示 求抛物线的解析式 写出顶点坐标 如图 在直角坐标系中 以点为圆心 以为半径的圆与x轴相交于点B C 与y轴相交于点D E 若抛物线经过C B两点 求抛物线的解析式 例2 已知 如图 是某一抛物线形拱形桥 拱桥底面宽度OB是12米 当水位是2米时 测得水面宽度AC是8米 1 求拱桥所在抛物线的解析式 2 当水位是2 5米时 高1 4米的船能否通过拱桥 请说明理由 不考虑船的宽度 船的高度指船在水面上的高度 三 应用举例 即 E F a 0 1 解 1 由图可知 四边形ACBO是等腰梯形 过A C作OB的垂线 垂足为E F点 OE BF 12 8 2 2 O 0 0 B 12 0 A 2 2 设解析式为 又 A 2 2 点在图像上 三 应用举例 例2 已知 如图 是某一抛物线形拱形桥 拱桥底面宽度OB是12米 当水位是2米时 测得水面宽度AC是8米 1 求拱桥所在抛物线的解析式 2 当水位是2 5米时 高1 4米的船能否通过拱桥 请说明理由 不考虑船的宽度 船的高度指船在水面上的高度 P Q 2 分析 船能否通过 只要看船在拱桥正中间时 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标 y 水位 船高 2 5 1 4 3 9 3 6 解 顶点 6 3 6 当水位为2 5米时 船不能通过拱桥 PQ是对称轴 3 如图 有一个抛物线形的隧道桥拱 这个桥拱的最大高度为3 6m 跨度为7 2m 一辆卡车车高3米 宽1 6米 它能否通过隧道 四 尝试练习 即当x OC 1 6 2 0 8米时 过C点作CD AB交抛物线于D点 若y CD 3米 则卡车可以通过 分析 卡车能否通过 只要看卡车在隧道正中间时 其车高3米是否超过其位置的拱高 四 尝试练习 3 如图 有一个抛物线形的隧道桥拱 这个桥拱的最大高度为3 6m 跨度为7 2m 一辆卡车车高3米 宽1 6米 它能否通过隧道 解 由图知 AB 7 2米 OP 3 6米 A 3 6 0 B 3 6 0 P 0 3 6 又 P 0 3 6 在图像上 当x OC 0 8时 卡车能通过这个隧道 四 尝试练习 4 将二次函数的图像向右平移1个单位 再向上平移4个单位 求其解析式 解 二次函数解析式为 1 由向右平移1个单位得 左加右减 2 再把向上平移4个单位得 上加下减 即 所求的解析式为 刘炜跳投 想一想 5 刘炜在距离篮下4米处跳起投篮 篮球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离为2 5米时 达到最高度3 5米 然后准确落入蓝筐 已知蓝筐中心到地面距离为3 05米 如果刘炜的身高为1 9米 在这次跳投中 球在头顶上方0 15米处出手 问求出手时 他跳离地面的高度是多少 c 分析 要求出他跳离地面的高度 关键是 1 首先要求出该抛物线的函数关系式 2 由函数关系式求出C点的坐标 即求出点C离地面的高度h h 0 15米 刘炜的身高即 他跳离地面的高度 h 如图 刘炜在距离篮下4米处跳起投篮 篮球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离为2 5米时 达到最高度3 5米 然后准确落入蓝筐 已知蓝筐中心到地面距离为3 05米 如果刘炜的身高为1 9米 在这次跳投中 球在头顶上方0 15米处出手 问求出手时 他跳离地面的高度是多少 探索 C y x o h 解 建立如图所示的直角坐标系 则抛物线的顶点A 0 3 5 蓝筐中心点B 1 5 3 05 所以 设所求的抛物线为y ax 3 5 又抛物线经过点B 1 5 3 05 得 a 0 2 即所求抛物线为y 0 2x 3 5 当x 2 5时 代入得y 2 25又2 25 1 9 0 15 0 2m 所以 他跳离地面的高度为0 2m 6 有一座抛物线形拱桥 在正常水位时水面AB的宽为20m 如果水位上升3米时 水面CD的宽为10m 2 求此抛物线的解析式 3 现有一辆载有救援物质的货车 从甲出发需经此桥开往乙 已知甲距此桥280km 桥长忽略不计 货车以40km h的速度开往乙 当行驶1小时 忽然接到通知 前方连降暴雨 造成水位以每小时0 25m的速度持续上涨 货车接到通知时水位在CD处 当水位到达最高点E时 禁止车辆通行 试问 如果货车按原速行驶 能否安全通过此桥 若能 请说明理由 若不能 要使货车安全通过此桥 速度应不小于每小时多少千米 6 有一座抛物线形拱桥 在正常水位时水面AB的宽为20m 如果水位上升3米时 水面CD的宽为10m 解 1 B 10 0 D 5 3 2 设抛物线的函数解析式为 由题意可得 解得 抛物线的函数解析式为 设货车速度为xkm h 能安全通过此桥 则4x 40 280解得x 60 故速度不小于60km h 货车能安全通过此桥 4 现有一艘载有救援物质的货船 从甲出发需经此桥开往乙 已知甲距此桥280km 货船以40km h的速度开往乙 当行驶1小时 忽然接到通知 前方连降暴雨 造成水位以每小时0 25m的速度持续上涨 货车接到通知时水位在AB处 当水位到达CD时 禁止船只通行 试问 如果货船按原速行驶 能否安全通过此桥 若能 请说明理由 若不能 要使货船安全通过此桥 速度应不小于每小时多少千米 6 有一座抛物线形拱桥 在正常水位时水面AB的宽为20m 如果水位上升3米时 水面CD的宽为10m 解 设所求的二次函数为y ax2 bx c 由已知得 a b c 10a b c 44a 2b c 7 解方程得 因此 所求二次函数是 a 2 b 3 c 5 y 2x2 3x 5 例1已知一个二次函数的图象过点 1 10 1 4 2 7 三点 求这个函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数y ax2 bx c的解析式 关键是求出待定系数a b c的值 由已知条件 如二次函数图像上三个点的坐标 列出关于a b c的方程组 并求出a b c 就可以写出二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 解 设所求的二次函数的解析式为y ax2 bx c 例2已知抛物线与x轴交于A 1 0 B 1 0 并经过点M 0 1 求抛物线的解析式 故所求的抛物线解析式为 y x2 1 用待定系数法求二次函数的解析式 a b c 0a b c 0c 1 解得a 1 b 0 c 1 应用 例3有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 解 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 根据题意可知抛物线经过 0 0 20 16 和 40 0 三点 可得方程组 通过利用给定的条件列出a b c的三元一次方程组 求出a b c的值 从而确定函数的解析式 过程较繁杂 评价 设抛物线为y a x 20 2 16 解 根据题意可知 点 0 0 在抛物线上 通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解 方法比较灵活 评价 所求抛物线解析式为 例3有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 应用 桂林红桥位于桃花江上 是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线 该桥的部分横截面如图所示 上方可看作是一个经过 三点的抛物线 以桥面的水平线为 轴 经过抛物线的顶点 与 轴垂直的直线为 轴 建立直角坐标系 已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为 米 图中用线段 等表示桥柱 米 米1 求经过 三点的抛物线的解析式 2 求柱子 的高度 如图 现有一横截面是抛物线的水渠 一次 水渠管理员将一根长1 5m的标杆一端放在水渠底部的点 另一端露出水面并靠在水渠内侧的点 发现标杆有1m浸没在水中 露出水面部分