09高考第一轮复习（第10讲）二次函数.ppt

高考第一轮复习 第10讲 必修一基本初等函数 一 课时1二次函数 考纲要求 1 理解掌握二次函数的概念 图象及性质 2 正确处理三个 二次 的关系 1 二次函数最值问题 2 一元二次方程的根的分布与系数关系 3 数形结合讨论二次不等式的解集3 化归转化为二次函数问题并熟练加以处理 二次函数 1 一般式 y ax2 bx c a 0 一 二次函数的解析式 2 顶点式 y a x m 2 n 其中 m n 为抛物线的顶点坐标 3 两根式 y a x x1 x x2 其中x1 x2为抛物线与x轴两交点的横坐标 注 求二次函数的解析式 一般都采用待定系数法 做题时 要根据题设条件 合理地设出解析式 二 二次函数的图象 有关知识 图象形状 对称轴 顶点坐标 与x轴交点坐标 截x轴线段长 三 二次函数的性质 四 二次函数f x ax2 bx c a 0 在 m n 上的最值 2 若x0 m n 则 1 当x0 m时 f x min f m f x max f n 2 当x0 n时 f x min f n f x max f m 五 不等式ax2 bx c 0恒成立问题 1 ax2 bx c 0在r上恒成立 ax2 bx c 0在r上恒成立 2 f x ax2 bx c 0 a 0 在 m n 上恒成立 f x min 0 x m n f x ax2 bx c0 在 m n 上恒成立 1 方程f x 0有两正根 六 二次方程ax2 bx c 0 a 0 的实根分布问题 记f x ax2 bx c a 0 2 方程f x 0有两负根 4 方程f x 0的两实根都小于k 3 方程f x 0有一正根一负根 c 0 5 方程f x 0的两实根一个大于k 另一个小于k f k 0 f 0 0 6 方程f x 0的两实根都大于k 7 方程f x 0的两实根都在区间 m n 内 8 方程f x 0的两实根中 有且只有一个在区间 m n 内 f m f n 0 或 9 方程f x 0的两根分别在区间 m n 和 p q n p 内 注涉及方程f x ax2 bx c 0 a 0 的实根分布问题 一般情况下要从四个方面考虑 f x 图象的开口方向 方程f x 0的判别式 区间端点处函数值的符号 f x 图象的对称轴与区间的关系 七 二次函数与方程 不等式的关系 6 19 c 1 二次函数f x 满足f 3 x f 3 x 且f x 0有两个实根x1 x2 则x1 x2等于 2 函数f x 2x2 mx 3 当x 1 时是减函数 当x 1 时是增函数 则f 2 3 若函数在区间 1 1 上是单调函数 则的取值范围是 4 关于x的方程x2 a2 1 x a 2 0的一根比1大 另一根比1小 则有 a 1 a 1 b a 2或a 1 c 2 a 1 d a 1或a 2 例1 已知二次函数f x 满足f 2 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 解 例1 已知二次函数f x 满足f 2 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 例1 已知二次函数f x 满足f 2 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 点评 确定二次函数解析式一般要用待定系数法 所以要选择二次函数的形式 用不同的形式求解 解法是不同的 注意灵活应用二次函数的三种表示形式 练 已知f x ax2 bx c的图象过点 1 0 是否存在常数a b c 使不等式对一切实数x都成立 则由f x ax2 bx c的图象过点 1 0 得a b c 0 1 f 1 1 即f 1 1 得a b c 1 解 假设存在常数a b c 使题中不等式对一切实数x都成立 即2ax2 x 1 2a 0与 1 2a x2 x 2a 0对一切实数x都成立 则必有 1 8a 1 2a 0 即 4a 1 2 0 故应对一切实数x都成立 例2 设a为常数 函数y f x x2 2a x 1 求f x 的最小值 解 点评 本题通过换元法把问题转化为二次函数在给定区间上的最小值问题 由图象对称轴t a可能在区间 0 上也可能在区间 0 外 所以有必要分类讨论 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 例3求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 当x 0时 ymax 3当x a时 ymin a2 2a 3 1 当0 a 1时 函数在 0 a 上单调递减 定函数动区间的二次函数的值域 当x 0时 ymax 3当x a时 ymin a2 2a 3 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2当x 0时 ymax 3 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 例3求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 2 当1 a 2时 1 当a 1时 函数在 0 a 上单调递减 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2 当x a时 ymax a2 2a 3 例3求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 3 当a 2时 2 当1 a 2时 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2 当x 0时 ymax 3 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 1 当a 1时 函数在 0 a 上单调递减 当x 0时 ymax 3 当x a时 ymin a2 2a 3 练习 设函数f x x2 2x 2 x t t 1 的最小值为g t 求g t 的解析式 f x 在区间 0 2 上的最小值为3 可分情况讨论如下 例4 已知函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求实数a的值 f x min f 0 a2 2a 2 0 4 舍去 f x min f 2 a2 10a 18 动函数定区间的二次函数的值域 例5 求函数y x x a 在x 1 a 上的最大值 解 函数图象的对称轴方程为x 又x 1 a 故a 1 对称轴在x 的右边 1 当 1 a时 即a 0时 由二次函数图象 可知 ymax f 动函数动区间的二次函数的值域 2 当a 时 即 1 a 0时 综上所述 当 1 a 0时 ymax 0当a 0时 ymax 2 当a 时 即 1 a 0时 由二次函数的图象可知 ymax f a 0 例5 求函数y x x a 在x 1 a 上的最大值 例6 已知二次函数y f x 的定义域为r f 1 2在x t处取得最值 若y g x 为一次函数 且f x g x x2 2x 3 1 求y f x 的解析式 2 若x 1 2 时 f x 一1恒成立 求t的取值范围 例6 已知二次函数y f x 的定义域为r f 1 2在x t处取得最值 若y g x 为一次函数 且f x g x x2 2x 3 2 若x 1 2 时 f x 一1恒成立 求t的取值范围 例7 已知函数f x mx2 m 3 x 1在原点右侧至少有一个零点 求实数m的取值范围 解 例7 已知函数f x mx2 m 3 x 1在原点右侧至少有一个零点 求实数m的取值范围 点评 本题的主要解法是数形结合法 分类讨论法 注意挖掘隐含条件 图象过定点 0 1 注意不要遗漏m 0的情形 1 2 3 06 陕西质量检测 已知函数若关于x的方程有7个不同的实数解 则b c的大小关系为 a b cb c b cd 不能判定 c 例8 已知二次函数f x 2x2 4 a 1 x a2 2a 9 1 若在 1 1 上至少存在一个实数m 使得f m 0 求实数a的取值范围 2 若对 1 1 上的一切实数m 都有f m 0 求实数a的取值范围 解 f x 的图象是开口向上的抛物线 其对称轴为直线x a 1 1 问题等价于 对于x 1 1 有f x max 0 讨论如下 当a 1 0即a 1时 f x max f 1 a2 2a 15 由 a2 2a 15 0得 5 a 3 a 1 5 a 1 当a 1 0即a 1时 f x max f 1 a2 6a 7 由 a2 6a 7 0得 1 a 7 a 1 1 a 7 综上所述 5 a 7 即实数a的取值范围是 5 7 2 问题等价于 对于x 1 1 有f x min 0 讨论如下 当a 1 1即a 0时 f x min f 1 a2 6a 7 例8 已知二次函数f x 2x2 4 a 1 x a2 2a 9 1 若在 1 1 上至少存在一个实数m 使得f m 0 求实数a的取值范围 2 若对 1 1 上的一切实数m 都有f m 0 求实数a的取值范围 由 a2 6a 7 0得 1 a 7 a 0 1 a 0 当 1 a 1 1即0 a 2时 f x min f a 1 3a2 6a 7 而当0 a 2时 3a2 6a 7 0恒成立 0 a 2 综上所述 1 a 3 即实数a的取值范围是