2-3数学归纳法.ppt

1 掌握数学归纳法的原理和证题步骤 2 能够利用数学归纳法证明不等式 整除性 平面几何等问题 3 掌握 归纳 猜想 证明 思想 1 数学归纳法的内容如下 一个与 的命题 如果 1 2 那么可以断定 2 数学归纳法的步骤中 第一步的作用是 第二步的作用是 3 数学归纳法实质上是 法的一种 它是一种 它只能 不能发现结论 并且只能证明 的命题 4 常把归纳法和数学归纳法结合起来 形成 的思想方法 既可以 又能 组成一套完整的数学研究的思想方法 5 用数学归纳法证明命题时 两步 并且在第二步的推理证明中必须用 否则不是数学归纳法 自我校对 正整数有关 当n取第一个值n0 例如n0 1或n0 2等 时结论正确 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 能够证明当n k 1时结论也正确 这个命题对n N 且n n0的所有正整数都成立 递推的基础 递推的依据 演绎推理 严格的证明方法 证明结论 与正整数相关 归纳 猜想 证明 发现结论 给出严格的证明 缺一不可 归纳假设 1 某个命题与正整数有关 如果当n k k N 时 该命题成立 那么可推得n k 1时命题也成立 现在已知当n 5时 该命题不成立 那么可推得 A 当n 6时该命题不成立B 当n 6时该命题成立C 当n 4时该命题不成立D 当n 4时该命题成立 解析 依题意 若n 4时该命题成立 则n 5时该命题必成立 而n 5时命题不成立 却无法判定n 6时该命题成立还是不成立 故选C 答案 C 2 用数学归纳法证明 1 a a2 a2n 1 a 1 在验证n 1时 左端计算所得项为 A 1 aB 1 a a2C 1 a a2 a3D 1 a a2 a3 a4解析 n 1时 a2n 1 a3 观察左式特点知选C 答案 C 由 1 2 可知 对一切n N 不等式都成立 上述证明 A 过程全部正确B n 1的验证不正确C 归纳假设不正确D 从n k到n k 1的推理过程不正确解析 n 1的验证及归纳假设正确 但从n k到n k 1的推理过程中没有使用归纳假设 而是通过不等式的放缩直接证明 不符合数学归纳法的证明要求 答案 D 4 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 从n k到n k 1右端需增乘的代数式为 答案 2 2k 1 5 已知an 4n 5 bn 3n 求证 对任意正整数n 都存在正整数p 使得ap bn2成立 1 数学归纳法的科学性数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种推理方法 在证明数学题中有着广泛的应用 它是一个递推的数学论证方法 论证的第一步是证明命题在n 1 或n0 时成立 这是递推的基础 第二步是假设在n k时命题成立 再证明n k 1时命题也成立 这是无限递推下去的理论依据 它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般 实际上它使命题的正确性突破了有限 达到无限 这两个步骤密切相关 缺一不可 完成了这两步 就可以断定 对任何自然数 或n n0且n N 结论都正确 由这两步可以看出 数学归纳法是由递推实现归纳的 属于完全归纳 2 数学归纳法证明命题的关键运用数学归纳法证明问题时 关键是n k 1时命题成立的推证 此步证明要具有目标意识 注意与最终要达到的解题目标进行分析比较 以此确定和调控解题的方向 使差异逐步减小 最终实现目标完成解题 注意 数学归纳法是一种完全归纳的证明方法 它适用于与正整数有关的问题 两个步骤 一个结论缺一不可 否则结论不能成立 在证明递推步骤时 必须使用归纳假设 必须进行恒等变换 简记为 递推基础不可少 归纳假设要用到 3 数学归纳法证明命题的类型运用数学归纳法 可以证明下列问题 与自然数n有关的恒等式 代数不等式 三角不等式 数列问题 几何问题 整除性问题等等 例1设n N 且sinx cosx 1 求sinnx cosnx的值 先观察n 1 2 3 4时的值 再归纳猜想sinnx cosnx的值 解 先观察研究n 1 2 3 4时的情形 当n 1时 有sinx cosx 1 当n 2时 有sin2x cos2x 1 当n 3时 有sin3x cos3x sin2x cos2x sinx cosx sinxcosx sinx cosx 因为 sinx cosx 2 1 2 所以sin2x 2sinxcosx cos2x 1 所以sinxcosx 0 代入前面的式子 即得 sin2x cos3x 1 1 0 1 1 当n 4时 有sin4x cos4x sin3x cos3x sinx cosx sinxcosx sin2x cos2x 1 2 0 1 1 由以上可以猜测 当n N 时sinnx cosnx 1 n 点拨 本题属归纳推理 它的正确与否可通过数学归纳法来说明 练1用数学归纳法证明 12 22 32 42 1 n 1 n2 1 n 1 例2平面内有n n 2 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不共点 证明 n条直线交点的个数f n 等于 分析 1 几何问题常常是先探索出满足条件的公式 然后加以证明 探索的方法是由特殊n 1 2 3 猜出一般结论 2 关键步骤的证明可以先用f k 1 f k 得出结果 再结合图形给予严谨的说明 3 几何问题的证明一要注意数形结合 二要注意要有必要的文字说明 点拨 用数学归纳法证明几何问题 关键是要搞清楚从n k到n k 1时的变化规律 练2平面上有n个圆 每两个圆交于两点 每三个圆不过同一点 求证 这n个圆分平面为n2 n 2个部分 证明 1 当n 1时 n2 n 2 1 1 2 2 而一个圆把平面分成两部分 所以n 1时命题成立 2 假设当n k时 命题成立 即k个圆分平面为k2 k 2个部分 则n k 1时 第k 1个圆与前k个圆有2k个交点 这2k个交点把第k 1个圆分成2k段 每一段把原来的所在平面一分为二 故共增加了2k个平面块 共有k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个部分 当n k 1时 命题也成立 由 1 2 可知 这n个圆把平面分成n2 n 2个部分 例3对于一切n N 求证 f n 2n 7 3n 9都能被36整除 分析 这是一个与正整数n有关的命题 可以尝试用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 f 1 2 1 7 3 9 36 能被36整除 2 假设当n k时 f k 2k 7 3k 9能被36整除 则当n k 1时 f k 1 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由归纳假设3 2k 7 3k 9 能被36整除 而3k 1 1是偶数 所以18 3k 1 1 能被36整除 所以当n k 1时 f k 1 能被36整除 由 1 2 可知 对任何n N f n 都能被36整除 点拨 1 证明整除性问题的关键是 凑项 采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 2 若将本题改为 已知f n 2n 7 3n 9 那么 是否存在正整数m 使得对任意n N 都能使m整除f n 若存在 求出m的最大值 并证明你的结论 若不存在 说明理由 理由f 1 36 f 2 108 f 3 360 可猜想能整除f n 的最大整数是36 证明过程同上 练3求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设n k时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 2 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设知 上式中的两部分均能被a2 a 1整除 故n k 1时命题成立 根据 1 2 知 对任意n N 命题成立 点拨 1 本题若直接比较f n 与的大小 则问题相当复杂 不易找到解题的突破口 这里用特殊化法 从考察特例n 1 2开始 归纳出一般结论 然后用数学归纳法去证明 体现了特殊化法与数学归纳法的综合应用 2 本题在证n k 1时 关键是变形用上n k时的式子 n 2时的证明为我们在证n k 1时找到了突破口 练4已知数列 an 的第一项a1 5 且Sn 1 an n 2 n N 1 求a2 a3 a4 并由此猜想an的表达式 2 用数学归纳法证明 an 的通项公式 1 解 a2 S1 a1 5 a3 S2 a1 a2 10 a4 S3 a1 a2 a3 5 5 10 20 猜想an 5 2n 2 n 2 n N 探索与研究问题 或存在性问题 开放性问题 是给出了问题的条件 但未给出问题的结论 若问题的结论不确定 则需要解答者探索问题的结论或给出问题的结论 并需要解答者探索结论成立的充分条件 或改变题设或题设的某个部分 考查整个问题将会发生什么变化的几种类型的问题 在命题用语上 常以 试探求 试推测 试判断 是否 能否 等字眼出现 由于这类题型没有明确的结论 解题方向不明 自由度大 需要通过对问题的观察 分析 比较 概括等处理 方能得出结论 然后再对所得出的结论给予证明 是训练和考查学生的数学思想能力 分析问题和解决问题能力的较好题型 某些与正整数有关的探究性问题常常采用 观察 归纳猜想 证明 的思想方法解决 例5设f k 是满足不等式log2x log2 3 2k 1 x 2k 1 k N 的自然数的个数 1 求f k 的解析式 2 令Sn f 1 f 2 f n 求Sn的解析式 3 令Pn n2 n 1 n N 试比较Sn与Pn的大小 2 Sn f 1 f 2 f n 20 21 2n 1 n 2n n 1 3 Sn Pn 2n n2 当n 1时 21 12 0 当n 2时 22 22 0 当n 3时 23 320 当n 6时 26 62 0 猜想 当n 5时 Sn Pn 下面用数学归纳法给出证明 由上面的计算可知 当n 5时 S5 P5 假设当n k k 5 时结论成立 即Sk Pk 即2k k2 则当n k 1时 2k 1 2k2 故2k2 k 1 2 k2 2k 1 k 1 2 2 因为k 5 所以 k 1 2 2 0恒成立 则2k2 k 1 2 即Sk 1 Pk 1 由 可得猜想正确 即当n 5时 Sn Pn 综上可知 当n 2 4时 Sn Pn 当n 3时 SnPn 点拨 本题综合了不等式求解 数列求和 数学归纳法等知识 是一道综合性很强的题目 1 通过解不等式 求出x的取值范围 不难发现正整数解的个数 2 由f k 的特点 选择适当的数列求和方法求Sn 3 可以从特例入手 试探Sn与Pn的大小关系 然后再证明 1 图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数 所以常常需要转化成数列问题来求解 常用的思路有两种 1 直接查个数 找到变化规律后再猜想 2 观察图形的变化规律 2 探索性问题是数学中的一类重要问题 如探讨数列的通项 前n项和 立体几何 解析几何中的性质等 在处理时 先采用合情推理猜想 再采用演绎推理的论证方法 3 对于较为复杂的数学命题 不论是从 已知 推向 结论 还是由 结论 靠向 已知 都有一个比较长的过程 单靠分析或综合显得较为困难 为保证探索方向准确且过程快捷 人们又常常把分析与综合两者并列起来使用 即常采取同时从已知和结论出发 寻找问题的一个中间目标 从已知到中间目标运用综合法思索 而由结论到中间目标运用分析法思索 以中间目标为桥梁沟通已知与结论 构建出证明的有效路径 把分析法与综合法两者结合起来进行思考 寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法 也就是常说的 两路夹攻 一攻就通 的证明思路 4 解决数学中的证明问题 既要掌握常用的证明方法的思维过程 特点 又要有牢固的数学基础知识 另外 还应掌握证明的一些常用方法与技巧 证明常用的方法与技巧有以下几种 1 换元法 换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题 通过恰当地引入新变量 代换原命题中的部分式子 简化原有结果 使其转化为便于研究的形式 常见的有代数换元与三角换元 在应用换元法时 要注意新变量的取值范围 即代换的等价性 2 放缩法 放缩法常用于证明不等式 欲证A B 可通过适当放大或缩小 借助一个或多个中间量使得B B1 B1 B2 Bi A或A A1 A1 A2 Ai B 再利用传递性 以达到证明的目的 这种方法叫放缩法 应用放缩法时 放缩目标必须确定 而且要恰到好处 目标往往要从证明的结论考察 常用的放缩方法有增项 减项或利用分式的性质 不等式性质 已知不等式 函数的性质等 3 判别式法 判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程 一元二次不等式 二次函数的根 解集 函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式 从而推出结论的方法 利用判别式法证明时 应先将问题转化为与二次三项式相关的问题 再利用判别式法求解 要注意二次项系数是否为零 此外还有导数法 添项法 几何法 构造函数法等 5 用数学归纳法证题的步骤 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1或n0 2 时结论正确 2 假设当n k k N k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 在完成了这两个步骤以后 就可以断定结论对于从n0开始的所有正整数n都正确 应用数学归纳法证明时要注意以下几点 1 步骤要完整 规范 即 两步一结论 缺一不可 且第二步证明一定要用到归纳假设 2 n的第一个值n0应根据具体问题来确定 3 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 并不一定都是证明n k 1时结论也正确 如用数学归纳法证明 当n为正偶数时xn yn能被x y整除 第一步应验证n 2时 命题成立 第二步归纳假设成立应写成假设当n k时命题成立 则当n k 2时 命题也成立 4 用数学归纳法可证明有关正整数的问题 但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明的 例如 用数学归纳法证明 1 n N 的单调性就难以实现 一般来说 从n k时的情形过渡到n k 1的情形时 如果问题中存在可利用的递推关系 则数学归纳法有用武之地 否则使用数学归纳法就有困难 做题时要注意具体问题具体分析 归纳推理和类比推理是常用的合情推理 从推理形式上看 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 两种推理的结论的正确性都有待严格证明 尽管如此 合情推理在探索新结论 新发现方面与拓展新知识方面有着极其重要的作用 也是每个人必备的基本能力 例1设数列 an 的前n项和为Sn a1 1且an 1 2Sn 1 n N 证 数列 an 是等比数列 解 由已知得an 1 2Sn 1 an 2Sn 1 1 n 2 n N 两式相减得an 1 an 2 Sn Sn 1 2an 即an 1 3an n 2 n N 又a2 2S1 1 2a1 1 3 3a1 所以an 1 3an n N 所以数列 an 是以1为首项 公比为3的等比数列 演绎推理主要的形式是三段论式 它包括大前提 小前提 结论 演绎推理是由一般到特殊的推理 在前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 历年的高考题中 绝大多数题目都是利用演绎推理解决的 例2设二次函数f x ax2 bx c a 0 方程f x x 0的两根x1 x2满足0 x1 x2 当x x1 x2 时 求证x1 f x x2 证明 设F x f x x 因为x1 x2是方程F x 0的两根 所以F x a x x1 x x2 因为x x1 x2 所以x1 f x x1 F x x x1 x a x1 x x x2 x1 x 1 a x x2 因为01 ax2 0 所以x1 f x 0 即x1 f x 又x2 f x x2 x 1 a x x1 且0 x1 x x2 所以x2 x 0 1 a x x1 1 ax ax1 1 ax1 0 所以x2 f x 0 即x2 f x 由 得x1 f x x2 点拨 证明时 注意二次函数与二次方程的关系 综合法与分析法是证明命题的两种最基本 最常用的直接证明方法 综合法常用于由已知推结论较易找到思路时 分析法常用于条件复杂 思考方向不明确 用综合法较难证明时 单纯应用分析法证明并不多见 常常是用分析法寻找思路 用综合法表述过程 因为综合法宜于表达 条理清晰 在实际应用中 经常要把综合法与分析法结合起来使用 例3已知x y 0 x y 1 求证 log2 x2y2 1 log2x log2y log217 2 点拨 对于本题通过条件直接推理证明结论较为困难 所以方法一采用了分析法 以分析法为参照 逆写分析法证明命题的过程就是综合法 而方法二采用了另一种形式上的综合法一构造函数法 其中换元法是转化为函数问题的关键 反证法是高中数学中的一种重要的证明方法 在不等式和立体几何的证明中经常用到 在高考题中也经常出现 它所反映出的 正难则反 的解决问题的思想方法尤为重要 例4求证 两条相交直线有且只有一个交点 证明 假设结论不成立 即有两种可能 无交点 不只有一个交点 若直线a b无交点 那么a b 与已知矛盾 若直线a b不只有一个交点 则至少有两个交点A和B 这样同时经过点A B就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 综上所述 两条相交直线有且只有一个交点 点拨 反设结论时考虑要全面 个个推翻才可以 归纳 猜想与证明是一个连续的 完整的思维过程 是十分重要的解题方法 许多与正整数有关的数学问题 如果由条件不易推出结论时 常常考虑运用 归纳 猜想与证明 的方法步骤解决 例5 2009 泰州模拟 如图 P1 x1 y1 P2 x2 y2 Pn xn yn 0 y1 y2 yn 是曲线C y2 3x y 0 上的n个点 点Ai ai 0 i 1 2 3 n 在x轴的正半轴上 且 Ai 1AiPi是正三角形 A0是坐标原点 1 写出a1 a2 a3 2 求出点An an 0 n N 是横坐标an关于n的表达式并证明 即 an an 1 2 2 an 1 an 由 1 可猜想 an n n 1 n N 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 命题显然成立 2 假定当n k时命题成立 即有ak k k 1 则当n k 1时 由归纳假设及 ak 1 ak 2 2 ak ak 1 得 ak 1 k k 1 2 2 k k 1 ak 1 即 ak 1 2 2 k2 k 1 ak 1 k k 1 k 1 k 2 0 解之得ak 1 k 1 k 2 ak 1 k k 1 ak不合题意 舍去 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 命题成立 点拨 本题以一组平行线与抛物线相交这一位置关系为背景 考查了抛物线上的点列问题 由a1 a2 a3 归纳猜想得到an的关系式 然后运用数