线段、角、相交线.doc

第四章 三角形第一节 线段、角、相交线与平行线 【知识点清单】1、过_有且只有一条直线.2、两点之间线段_.3、连接两点的线段的长度，叫做这两点的_.4、点到直线的_的长度，叫做点到直线的距离。5、线段的中点到两端点的距离_.6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的_.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_上.7、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做_，这个公共端点叫做角的_，这两条射线叫做角的_.如果两个角的和是一个_，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角.如果两个角的和是一个_，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角.同角或等角的余角_，同角或等角的补角_.8、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个_的角，这条射线叫做这个角的平分线.角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离_.（2）到一个角的两边距离相等的点在_上.9、两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做_.我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做_.邻补角_，对顶角_.10、垂线性质1：过一点有且只有_直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段_.简称：垂线段_.11、在同一个平面内，不相交的两条直线叫做_.同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：_或_.注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交.（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_.推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相_.平行线的判定公理：同位角_，两直线平行.内错角_，两直线平行.同旁内角_，两直线平行.补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线_.（2）垂直于同一条直线的两直线_.（3）平行线的定义.12、平行线的性质（1）两直线平行，同位角_.（2）两直线平行，内错角_.（3）两直线平行，同旁内角_.O【基础练习】1、如图，直尺一边与量角器的零刻度线平行，若量角器的一条刻度线的读数为70，与交于点,那么 度. 2、如图所示，ABCD，MN分别交AB，CD于点E，F.已知1=35，则2=_.MbacAB123、如图所示，直线直线与直线，分别相交于点、点，垂足为点，若，则= _.4、如图，有一块含有45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果120，那么2的度数是_.5、如图，已知 的度数是_【巩固练习】6、一个角的补角是，这个角是 7、如图，直线a、b被直线所截，ab，1=70，则2= 8、已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_9、如图，一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则ABCBCD_度10、现在的时间是9时20分，此时钟面上的时针与分针的夹角是_12345【提高练习】11、如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）12；（2）34；（3）2+490；（4）4+5180，其中正确的个数是 个。12、在ABC中，A80，B30，CD平分ACB，DEAC.(1)求DEB的度数；(2)求EDC的度数【作业】1、已知20，则的余角等于 度.30角的余角的补角是 度.140角的补角的余角是 度.1a3M2、已知线段AB8 cm，在直线AB上有一点C，且BC4 cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长是_2P3、如图，分别在上，为两bN平行线间一点，则1+2+3= _度4、如图，已知ABCD，BE平分ABC，交CD于D点，CDE150，求C的度数。5、如图，lm，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若=200，求的度数第二节 三角形及其性质【知识点清单】1.三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的_叫做三角形的角平分线（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边_的线段叫做三角形的中线（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的_ (4) 三角形的中位线：连接三角形两边的_的线段.2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：三角形任意两边之和_第三边；三角形任意两边之差_第三边； （2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于_3.三角形的分类（1）按边分：（2）按角分：4.特殊三角形（1）等腰三角形的性质及判定： 判定：两个角_的三角形是等腰三角形 两条边_的三角形是等腰三角形 性质：等腰三角形的两个底角_、两条腰_ 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）轴对称图形，有_条对称轴.（2）等边三角形(正三角形)的性质及判定： 判定：三个角都_的三角形是等边三角形 三条边_的三角形是等边三角形 有一个角为60的_三角形是等边三角形 一腰与底边相等的等腰三角形是_三角形性质：等边三角形三个角_,三条边_ （具有等腰三角形一切性质）轴对称图形，有_条对称轴.（3）直角三角形的性质及判定： 勾股定理及逆定理： 勾股定理（直角三角形性质）：直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即 勾股定理逆定理（直角三角形的判定）：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形 判定：勾股定理逆定理 有一个是90的三角形是_三角形 有两个角是45的三角形是_三角形 三角形中有两个角和为90，那么这个三角形是_三角形 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是_三角形 性质：勾股定理，两个锐角和为_，斜边上的中线等于斜边的_ _角所对直角边等于斜边的一半 一条直角边等于斜边的_，这条直角边所对角等于305、三角形中位线：6、三角形的外角三角形的任意一个外角等于和它_的两个内角之和.三角形的任意一个外角_任何一个和他不相邻的内角.7、两个重要定理：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离_；逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的_上；三角形的三条角平分线相交于一点（_心）（2）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离_；逆定理：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的_上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（_心）【基础练习】1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A1cm，2cm，4 cm B8 crn，6cm，4cm C12 cm，5 cm，6 cm D2 cm，3 cm ，6 cm2、 已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为 度ABCDP3、中，分别是的中点，当BC=10时时，DE= 4、如果ABC的一个外角等于150，且BC，则A .5、 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为 【巩固练习】6、一个三角形的两边长分别是4，9，第三边长为奇数，则第三边长是_7、一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_8、如图，ABCD， AO=PO,若C = 50，则A=_度.9、直角三角形两条直角边长为3cm和4cm，斜边上的高为_.直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长为_. 若等腰直角三角形的斜边长为10厘米，则斜边上的高为_厘米，10、在等腰ABC中，若有一个角为70，则另外两个角分别是 、 若有一个角为100，则另外两个角分别是 若有两条边长分别为2cm和3cm，则ABC 的周长是 cm；若有两条边长分别为2cm和5cm，则ABC 的周长是 cm；【提高练习】11、若等腰三角形的周长为24cm,一腰上的中线将它的周长分为9cm和15cm两部分,则这个等腰三角形的腰长为_,底边长是_.ABCD12、如图，在ABC中，C=90,AD平分BAC交BC于点D,BDDC=21，BC=7.8cm,则D到AB的距离 cm.13、如图所示，在ABC中，A50，BO、CO分别平分ABC和ACB求BOC的度数【作业】1、若三角形的三边长分别为3，4，x ，则x的取值范围是 2、等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是_3、 如图，已知DEBC，CD是ACB的平分线，B70， ACB50，求EDC的度数及BDC的度数4、如图，等腰 ABC中，AB=AC，A=20。线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，求CBE的度数.ABCDE5、如图，已知ABCD，A=60，C =25，则E的度数是多少？第三节 全等三角形【知识点清单】 1.全等三角形的判定方法 （1）三边：三边对应相等的两个三角形_，简写成“边边边”或“_” （2）两边一角（此角为两边夹角）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形_，简写成“_”或“SAS” （3）两角一边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形_，简写成“角角边”或“_” 两角和它们的_对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或ASA” （4）有斜边和一条直角边对应相等的两个_三角形全等，简写成“斜边直角边定理”或“_” 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边_，对应角_，且对应角平分线、中线、高、中位线、周长、面积_【基础练习】1、如图，若 ABCDEF，E等于_2、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A.带去 B.带去 C.带去 D.带和去 3、如图，在ABC中，ADBC于 D，再添加一个条件 _ _，就可确定ABDACD。4、 如图，所示，若OADOBC，且O=65，C=20，则OAD=_5ABCABC, AB=24, SABC=180, 则ABC中AB边上的高是_.【巩固练习】6、已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD7、如图，已知AB、CD相交于点O，ACBD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，试说明CEDFBAEFCD8、如图，已知AEBF, AC=BD,要使ADEBCF,可添加的条件是_.9、如图，BC=EC，1=2，要使ABCDEC，则应添加的一个条件为_并加以证明10、 如图, 已知等边ABC中, BD=CE, AD与BE相交于点P, 求APE的度数.【提高练习】11如图，D、E为ABC两边AB、AC的中点，将ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若B=55，则BDF等于_12、如图, AB=12, CAAB于A, DBAB于B, 且AC=4m, P点从B向A运动, 每分钟走1m, Q点从B向D运动, 每分钟走2m,P、Q两点同时出发, 运动几分钟后CAPPQB? 试说明理由.【作业】1、如图，已知ABDE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明2、如图，在ABC中，C=90，点D是AB边上的一点，DMAB，且DM=AC，过点M作MEBC交AB于点E求证：ABCMED3、如图，ADBC，A=90，E是AB上的一点，且AD=BE，1=2求证：ADEBEC4、如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AECF，AE=CF，BE=DF求证：ADECBF5、如图，AC和BD相交于点O，AB=DC，AD，（1）请写出符合条件的五个结论（对顶角除外，且不添加辅助线）（2）从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由第四节 图形的相似【知识点清单】1 成比例线段成比例线段四条线段a、b、c、d，如果abcd，那么这四条线段叫做_，其中d叫做第四比例项项；特别地，如果abbc，b叫做a、c 的等比中项比例的基本性质如果abcd，那么_平行线分线段成比例一组平行线被两条直线所截，所截得的对应线段_2 相似图形的相关概念相似图形形状_的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角_，对应边的比_，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为_相似三角形两个三角形的对应角相等，对应线段成比例，则这两个三角形_当相似比k1时，两个三角形_3 相似三角形的判定定义对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形判定平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形_；有两个角对应_的三角形相似；两边对应成比例，且_相等的三角形相似；三边对应_的两三角形相似；直角三角形中，斜边与直角边对应成比例的三角形相似4 相似三角形的性质性质相似三角形对应角_，对应边_；相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于_；相似三角形对应周长的比等于_；相似三角形对应面积的比等于_；应用求角、边的大小；求线段的比；证明线段成比例5 相似三角形的应用位似定义两个相似图形，如果对应点连线都相交于一点，并且对应边平行，那么这两个图形是_性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_；对应边的比相等位似变换利用位似的性质画位似图形或求点的坐标第一课时【基础练习】1、下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（）A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、32、若，则_.3、中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A12.36 cm B13.6 cmC32.36 cm D7.64 cm4、若ABCDEF, ABC与DEF的相似比为2，则ABC与DEF的周长比为_5、已知ABCDEF，且AB：DE=1：2，则ABC的面积与DEF的面积之比为_【巩固练习】6、若a、b、c、d成比例，且a=3，b=4，d=5，则c= ，若 _7、如图，ABC与DEF是位似图形，位似比为23，已知AB4，则DE的长为 _8、在ABCD中，在上，若，则 9、如图，在中，的垂直平分线交的延长线于点，求的长【提高练习】10、如图，中，直线交于点交于点交于点若则 11、锐角ABC中，BC6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作矩形MPQN，设MP为x，矩形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y 0）,当x ，公共部分面积y最大，y最大值 【作业】1、已知，则的值是_2、如图，、分别是、的中点，则 3、已知，ABCABC，SABC：SABC=1：9，其ABC的周长为18cm，那么ABC的周长是_cm。 4、如图，在ABC中，已知DEBC，AD=4，DB=8，DE=3，则= ，BC= 。 5、已知ABC中，DEBC，EFAB，AB=3，BC=6，AD：DB=2：1，求四边形DBFE的周长第二课时【基础练习】1、 如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=20m，则=_m2、 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为_3如图，在ABC中，ACAB，点D在AC边上，（点D不与A、C重合），若再增加一个条件就能使ABDACB，则这个条件可以是_。4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处已知ABBD，CDBD，且测得AB1.2米，BP1.8米，PD12米，那么该古城墙的高度是_5.、如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB2 m，CD6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB与CD间的距离是_m.【巩固练习】6、如图所示，D是ABC的边AC上的点，过D作直线DE，与AB交于点E，若ADE与ABC相似，则这样的直线DE最多可作_条7、如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 。8、如图，在ABC中，ACBC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，A=D.（1）求证：ABCDEC；（2）若AC=3，AE=1，BC=4，求DE的长.【提高练习】9、将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 10、正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在 上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值【作业】1、如图，1=2，添加一个条件使得ABCDCB： 2、如图，上体育课甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙两同学相距1 m，甲身高1.8 m，乙身高1.5 m，则甲的影子是_m.3、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值为 。4、如图，在矩形中，点分别在边上，求的长5、 兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为()A11.5米 B11.75米 C11.8米 D12.25米第五节 解直角三角形【知识点清单】1、锐角三角函数的定义：RtABC中，设C90，为RtABC的一个锐角，则： 的正弦 sin . 的余弦 cos . 的正切 tan 2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式（1）特殊角的三角函数值30、45、60的三角函数值，如下表：函数值304560sin cos tan （2）简单的三角函数关系式同角三角函数之间的关系： sin2cos2 ； tan .互余两角的三角函数关系式：(为锐角) sin cos ； cos sin . 函数的增减性：(090) (1)sin，tan的值都随增大而 ； (2)cos都随增大而 3、直角三角形的边角关系直角三角形中的边角关系：在RtABC中，C90，A、B、C所对的边分别为a、b、c则： (1)边与边的关系： ； (2)角与角的关系： ； (3)边与角的关系： (4)三角形面积公式：S .4、解直角三角形的实际应用1.仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.2.坡角、坡度：通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即i= ；坡面与水平面的夹角叫坡角，记作。则i= = .3.方向角： 若A点位于O点的北偏东30方向，则O位于A点的 方向.第一课时【基础练习】1、在RtABC中，a5，c13，则sinA=_，cosA=_， tanA=_2、RtABC中，C=90，AB=12，则sinA的值是_。若A是锐角，且cos（A+15 o）= ，则A=_。3、在RtABC中，C=90o，直角边AC的长度是斜边AB的1/3，则cosB的值是_。4、在ABC中，C90，BC2，sinA，则AC的长是_5、计算的值是 cos30 otan30 o+sin60otan45 o tan60o=_【巩固练习】6、在正方形网格中，的位置如图所示，则cosB的值为_7、把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A不变B缩小为原来的C扩大为原来的3倍D不能确定8、在ABC中，C 90，tanA ，则sinB= _9、在ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4，求AC值。 10、如图，在中，是上一点，于，且，则的长为 。【提高练习】yxOBA11、如图，点A(1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ） A（0，0） B（，） C（，） D（，）12、如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，求tanAFE的值.【作业】1、在ABC中，C=90，AB=13，BC=5，则sinA的值是（）A、 B、 C、 D、 2、如图，P是AOx的边OA上的一点，且点P的坐标为（1，），则AOx=_度cosAOy= 3、 已知在RtABC中，C90，sin A，则tan B的值为 4、如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，D为垂足，若AC=4，BC=3，则求（1）sinACD的值（2）CD的长5、计算（1）= （2）|3|2cos 45(1)0= 第二课时【基础练习】1、在ABC中，C=90，若b=，c=2，则a=_，A=_2、在ABC中，C=90，若c=7，A=30，则b=_，a=_3、在ABC中，C=90，tanA=，ABC周长为60，则面积=_4如图，在高为2m，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）A. B.4m C. D.5、设等腰三角形的腰长为2cm，底边长为cm，则顶角为_度【巩固练习】6、如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=45 o，C=120 o，AB=8，则CD的长为 AOBECD7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD = 24 m，OECD于点E已测得sinDOE =（1）半径OD_（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过_才能将水排干。AGBFECD30608、 小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得ADG=30，在E处测得AFG=60，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，则这棵树AB的高度为 （结果保留两位有效数字，1.732）.F9、如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得DAN = 35，然后沿河岸走了120米到达B处，测得CBN=70求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)（参考数据： sin35 0.57, cos35 0.82, tan35 0.70 sin 70 0.94, cos70 0.34, tan70 2.75 ） 【提高练习】10、所示，在ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC14，AD12，sin B (1)求线段DC的长； (2)求tanEDC的值.11、生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当5070(为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6m的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin 700.94，sin 500.77，cos 700.34，cos 500.64)B(0,4)A(3,0)0xy【作业】1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，4），则cosOAB等于_2、如图：ABC中，C=90，AB=，cosB=，D为AC上一点，且DBC=30，求AD的长3、梯形的上底长为4cm，下底长为12cm，两底角分别为60和30，那么梯形的周长等于_cm4、已知ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，求sinB的值.5、如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为 ，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知 求荷塘宽BD为多少米？（取 ,结果保留整数）第三课时【巩固练习】1、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是 2、如图，有一斜坡AB长40m，此斜坡的坡角为60，则坡顶离地面的高度为 （答案可以带根号）ABC303、课外活动小组测量学校旗杆的高度如图，当太阳光线与地面成30角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是 米（结果保留3个有效数字，1.732）5米AB4、如图先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）A. B. C. D. ABCD150h5、如图是某商场一楼与二楼之间的手