第 20 课 导数的概念、几何意义及运算.doc

第20课 导数的概念、几何意义及运算一、填空题：1已知函数f(x)x2+bx+c，(b，cR)，F(x)，若F(x)图象在x=0处的切线方程为y=2x+c，则函数f(x)的最小值是_解：f(x)=x2+bx+c，f(x)=2x+b，F(x)则F(x) ，F(x)图象在x0处的切线方程为y=2x+c，即，解得b4，c4f(x)=x2+4x+4=(x+2)20，函数f(x)的最小值是02水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是25000cm2/s3f(x)，g(x)（g(x)0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，f(x)g(x)f(x)g(x)0且f(2)0，则不等式0的解集为 解：f(x)和g(x)（g(x)0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)f(x) ， g(x)g(x)当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，当x0时，0，令h(x)，则h(x)在(，0)上单调递减h(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=h(x)，h(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0，+)单调递减，且h(0)=0f(2)=f(2)=0，h(2)=h(2)=0h(x)0的解集为(2，0)(2，+)4设曲线y=(ax1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y=(1x)e -x在点B(x0，y2)处的切线为l2若存在x00，使得l1l2，则实数a的取值范围为_解：函数y=(ax1)ex的导数为y=(ax+a1)ex，l1的斜率为k1(ax0+a1)，函数y=(1x)e-x的导数为y=(x2)e-x，l2的斜率为k2(x02) ，由题设有k1k2=1从而有(ax0+a1)(x02) 1a(x02x02)=x03x00，得到x02x020，所以a，又a，令a0得1x05，故在(0，1)是减函数，在(1，)上是增函数，x0=0时取得最大值为； x0=1时取得最小值为11a5已知函数f1(x)=sinx，且fn+1(x)=fn(x)，其中nN*，求f1(x)+f2(x)+f100(x)的值解：f1(x)=sinx，又fn+1(x)=fn(x)，f2(x)=f1(x)=(sinx)=cosx，f3(x)=sinx， f4(x)=cosx，f5(x)=sinx，fn+4(x)=fn(x)而f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0，f1(x)+f2(x)+f100(x)=250=0二、解答题：1已知实数a，b，cR，函数f(x)=ax3+bx2+cx满足f(1)=0，设f(x)的导函数为f(x)，满足f(0)f(1)0（1）求的取值范围；（2）设a为常数，且a0，已知函数f(x)的两个极值点为x1，x2，A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，求证：直线AB的斜率k(，解：（1）f(1)=a+b+c=0，b=(a+c)，f(x)=3ax2+2bx+c， f (0)=c，f (1)=3a+2b+c，f (0)f (1)=c(3a+2b+c)=c(ac)=acc20，a0，c0，()20，所以01（2）令f(x)=3ax2+2bx+c=0，则x1+x2，x1x2，ka(x22+x2x1+x12)+b(x2+x1)+c=a(x2+x1)2 x2x1+b(x2+x1)+ca()+b()+ca()+，令t，由b(a+c)得，1t，t(0，1)，则k (1+t)2+3t (t2+t1)，a0，t2+t1(1，k(，2、已知抛物线C1：y=x2+2x和C：yx2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段（1）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分解：（1）函数y=x2+2x的导数y=2x+2，曲线C1在点P(x1，x12+2x1)的切线方程是：y(x12+2x1)=(2x1+2)(xx1)，即y=(2x1+2)xx12函数y=x2+a的导数y=2x，曲线C2在点Q(x2，x22+a)的切线方程是，即y(x22+a)=2x2(xx2)y=2x2x+x22+a如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程，x1+1=x2，所以x12=x22+a消去x2得方程2x12+2x2+1+a=0若判别式=442(1+a)=0时，即a=时解得x1=，此时点P与Q重合即当a=时C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为yx（1）证明：由（1）可知当a时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P(x1，y1)，Q(x2，y2)其中P在C1上，Q在