第17课 幂函数、函数与方程.doc

第17课 幂函数，函数与方程一、点击小题1若关于x的方程2tx2(25t)x30的两实根，满足012，则实数t的取值范围是_解：依题意，函数f(x)2tx2(25t)x3的两个零点，满足012，且函数f(x)过点(0,3)，则必有，解得t2函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为_解：在同一坐标系中作出y()x与y|log0.5x|的图象，如图由图可得零点个数为23已知函数f(x)2bxc的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若和分别在区间(0,1)与(1,2)内，则的取值范围为_解：因为f(x)x2ax2b，由题意可知， 画出a，b满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，表示可行域内的点与点D(1，2)的连线的斜率，记为k，观察图形可知，kCDkkBD，而kCD，kBD1，所以1 4对于实数a和b，定义运算“*”：，设，且关于x的方程为f(x)=m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 解：由新定义得，所以可以画出草图，若方程f(x)=m有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即5已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_或解：函数，当x1时，当x1时， ，综上函数，做出函数的图象（蓝线），要使函数y与ykx2有两个不同的交点，则直线ykx2必须在四边形区域ABCD内（和直线平行的直线除外，如图），则此时当直线经过，综上实数的取值范围是且，即或二、例题精讲例1讨论函数在x0时随着x的增大其函数值的变化情况分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论解：（1）当k2+k0，即k0或k1时，y0为常函数；（2）当k22k10时，k1或k1+，此时函数为常函数；（3）当即0k1+时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；（4）当即k1或k1+时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（5）当即1k0时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（6）当，即1k1时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小例2 已知（1）求f(x)的单调区间；（2）求m的取值范围，使方程f(x)mx有4个不同实根解：（1）f(x)，递增区间为1,2，3，+)；递减区间为(，1)，(2，3)（2）设ymx与yf(x)有四个公共点，过原点的直线l与yf(x)有三个公共点，如图所示令它的斜率为k，则0mk由x2(k4)x30令(k4)2120k42当k42时，方程的根x1x2(1,3)，舍去；当k42时，方程的根x1x2(1,3)，符合题意故0m42例3 已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数解：（1）由题意得，1和1是方程f (x)3x2+2ax+b0的两个零点，a0，b3，f (x)x33x（2）g (x)x33x+2(x1)3(x+2)，函数yh(x)的零点为2（3）本题即求c的零点个数，由f 3(x)3 f (x)c得到：当c2时，f (x)1或2，f (x)1有3个解，f (x)2有2个解，故函数yh(x) 的零点个数为5；当c2时，同理可得，函数yh(x) 的零点个数为5当2c2时，f(x)有3个解，分别是t1(2，1)，t2(1，1)，t3(1，2)，由于f (x)ti（i1,2,3）各有3个解，故yh(x) 的零点个数为9例4 设函数（1）求函数的单调区间；（2）关于x的方程在3,2上有三个相异的零点，求a的取值范围解：（1）f(x)3x24x4由f(x)0，得x2或x；由f(x)0，得2x故f(x)的递增区间为(，2)、(，)； f(x)的递减区间为(2，)（2）由f(x)a2x32x24xa22a0，令g(x)x32x24xa22a所以g(x)3x24x4由（1）可知，g(x)