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教学资料范本2020版新高考复习理科数学专项小测：25“20题、21题”含解析编 辑：_时 间：_专项小测(二十五)“20题、21题”时间：45分钟满分：24分20.(12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.A.B分别为椭圆C的左、右顶点.F为椭圆C的右焦点.过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P.Q.当直线l垂直于x轴时.四边形APBQ的面积为6.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为k(k0).线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.求证：为定值解：(1)由题意可知1.令xc得y.则|PQ|.则S四边形APBQ|AB|PQ|2a2b26.解得b23.e.a2c.又a2b2c2.a24.椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意可知F(1,0).直线l的方程为yk(x1)由可得(4k23)x28k2x(4k212)0.设P(x1.y1).Q(x2.y2).则x1x2.x1x2.y1y2k(x1x2)2k.设PQ的中点为N.则N.则MN的方程为y.令y0.可得M.|MF|.|PQ|.为定值21(12分)已知函数f(x)xax(lnx1)a.(1)当a0时.证明：函数f(x)只有一个零点；(2)若函数f(x)的极大值等于0.求实数a的取值范围解：(1)由题可知f(x)1xalnx.令g(x)1xalnx.则g(x)(x0).所以当a0时.g(x)0.即g(x)在(0.)上单调递减(2分)又因为f(1)g(1)0.所以.当0x1时.f(x)0；当x1时.f(x)0.所以f(x)在(0,1)上单调递增.在(1.)上单调递减.所以f(x)f(1)0.所以f(x)只有一个零点(4分)(2)由(1)知.当a0时.f(x)的极大值等于0.符合题意当0a1时.因为当x(0.a)时.g(x)0；当x(a.)时.g(x)0且g(1)0.g()110.故存在x1.满足f(x1)0.当x(0.x1).f(x)0.当x(x1.a).f(x)0.又x(a,1).f(x)0；当x(1.).f(x)0.所以此时x1是f(x)的唯一极大值点.且f(1)0.符合题意(6分)当a1时.因为x(0,1).g(x)0；x(1.).g(x)0.且g(1)0.所以g(x)0.即f(x)在(0.)上单调递减无极值点.不合题意(8分)当a1时.因为当x(0.a)时.g(x)0；当x(a.)时.g(x)0.且g(1)0.g(ea)1eaa2.令W(a).则W(a)0；所以W(a)W(1)1.所以1a2ea.即g(ea)0.又因为a1a2ea.故存在x0(a.ea).满足f(x0)0.x(a.x0).f(x)0；x(x0.ea).f(x)0.此时x1是f(x)的唯一
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