第42课 等差数列与等比数列综合.doc

第42课 等差数列与等比数列综合1已知数列1，a，9是等比数列，数列1，b1，b2，9是等差数列，则的值为 解：因为1，a，9是等比数列，所以a2199，所以a3 1，b1，b2，9是等差数列b1+b21+910所以2已知数列an满足log3an+1log3an+1（nN*），且a2+a4+a69，则的值是 5解：由log3an+1log3an+1（nN*），得log3an+1log3an1，即，解得3，所以数列an是公比为3的等比数列因为a5+a7+a9(a2+a4+a6)q3，所以a5+a7+a993335所以log33553已知函数f(n)n2cos(np)，且anf(n)+ f(n+1)，则a1+a2+a3+ a100100解：若n为偶数，则anf(n)+ f(n+1)n2(n+1)2(2n+1)，an是首项为a25，公差为4的等差数列；若n为奇数，则anf(n)+ f(n+1)n2+(n+1)22n+1，an是首项为a13，公差为4的等差数列所以a1+a2+a3+ a100( a1+a3 + a99) + (a2+a4 + a100)1004已知各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比数列中项为2，则2a7+a11的最小值8解：由题意知a4a14(2)2a92，即a92所以设公比为q（q0），所以2a7+a118，,当且仅当，即q42，所以q时取等号，所以最小值为8 5右表给出一个“三角形数阵”已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（，i、jN*），则a53 ，amn ，（）；解：由题意可知第一列首项为，公差d，第二列的首项为，公差d，所以a51+4，a52+3，所以第5行的公比为q，所以a53a52q由题意知am1+(m1) ，am2+(m2) ，所以第m行的公比为q，所以amnam1qn1()n1（）6任給实数a、b，定义 设函数，则f(2)+f()；若an是公比大于0的等比数列，且a51，f(a1)+ f(a2)+ f(a3)+f(a7)+ f(a8)a1，则a10；e解：因为2ln20，所以f(2)2ln2因为ln0，所以f()2ln2，所以f(2)+f()0若x1，则有1ln10，所以f(x)xlnx此时01，即ln0，所以f()xlnx，所以f(x)+ f()0，而f(1)0，在等比数列中因为a51，所以a52a2a8a3a7a4a61，即，所以f(a1)+ f(a2)+ f(a3)+f(a7)+ f(a8)f(a1)+f(1)f(a1)，所以f(a1)a1，若a11，则f(a1)a1lna1a1，即lna11，解得a1e若0a11，则f(a1)a1，即lna1a12，因为0a11，所以lna10，所以方程lna1a12无解综上可知a1e7已知等差数列an的公差为d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数，若a1d，b1d2，,且是正整数，则q的所有可能的值有 解：由题意知a2a1+d2d，a3a1+2d3d，b2b1qd2q，b3b1q2d2q2，所以，因为是正整数，所以令t， t为正整数所以，即,解得，q是小于1的正有理数，01且1，解得5t14，因为为正整数，q是有理数，所以当且仅当t8时q 8已知数列an中a15，a22，记A(n)a1+a2+an，B(n)a2+a3+an+1，C(n)a3+a4+an+2，若对于任意nN*，A(n)、B(n)、C(n)成等差数列（1）求数列an的通项公式； （2）求数列|an|的前n项和解：（1）根据题意A(n)、B(n)、C(n)成等差数列，A(n)+C(n)2B(n) 整理得an+2an+1a2a12+53 数列an是首项为5，公差为3的等差数列an5+3(n1)3n8 （2）|an|， 记数列|an|的前n项和为Sn当n2时，Sn； 当n3时，Sn7+ 综上，Sn 9已知各项均不相等的等差数列an的前5项和为S535，a1+1、a3+1、a2+1成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项和，问是否存在常数m，使Tnm，若存在，求m的值；若不存在，说明理由解：（1）设等差数列an的公差为d，由已知得a1+2d7，又a1+1、a3+1、a2+1成等比数列，所以82(82d)(8+4d)，解得a13，d2所以an2n+1（2）Snn(n+2)，所以Tn()()，故存在常数m满足条件10已知nN*，数列dn满足dn，数列an满足and1+d2+d3+d2n；数列bn为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x220x+640的两个不相等的实根（1）求数列an和数列bn的通项公式;（2）将数列an中的第a1项，第a2项，第a3项，第an项，删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列cn，求数列cn的前2013项和解：（1）因为dn，and1+d2+d3+d2n3n，因为方程x220x+640的两个不相等的实数根 所以b2+b420，b2b464，解得b24，b416，所以bn2n （2）由题知将数列bn中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列cn中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b12，b24公比均是8，Tn(c1+c3+c5+c2013)+( c2+c4+c6+c2012) 11已知函数f(x)x2+x，当xn，n+1（nN*）时，f(x)的值中所有整数值的个数记为g(n)（1）求g(2)的值，并求g(n)的表达式；（2）设an（nN*），求数列(1)n-1an的前n项和Tn（3）设bn，Snb1+b2+b3+bn（nN*），若对任意的nN*都有SnL（LZ）成立，求L的最小值解：（1）当n2时，f(x)在2,3上递增，所以6 f(x)12，g(2)7， 因为f(x)在n，n+1（nN*）上单调递增，所以n2+nf(x)(n+1)2+(n+1)n2+3n+2， 从而g(n)(n2+3n+2)(n2+n)+12n+3 （2）因为ann2， 所以Tna1a2+a3a4+(1)n-1an1222+3242+(1)n-1n2当n是偶数时，Tn(1222)+(3242)+(n1)2n21+2+3+n； 当n是奇数时，Tn(1222)+(3242)+(n2)2(n1)2+n2（3）bn， SnSn错位相减得Sn，所以Sn77，若对任意的nN*都有SnL（LZ）成立，则L7 所以L的最小值为7 2已知数列an的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，构成等差数列bn，Sn是bn的前n项和，且b1a11，S515a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a916，求a50的值；（2）设Tn，当m1，1时，对任意nN*，不等式t22mtTn恒成立，