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第一讲不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 关于绝对值还有什么性质呢 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离 证明 10 当ab 0时 20 当ab 0时 综合10 20知定理成立 定理2如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 定理3如果a b是实数 那么 a b a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 当且仅当ab 0时 等号成立 将定理中的实数a b换成向量 或复数 仍成立 证 证明 2x 3y 2a 3b 2x 2a 3y 3b 2 x a 3 y b 2 x a 3 y b 2 x a 3 y b 2 3 5 所以 2x 3y 2a 3b 5 例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工 这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处 现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次 要使两个施工队每天往返的路程之和最小 生活区应该建于何处 分析 假设生活区建在公路路碑的第xkm处 两个施工队每天往返的路程之和为S x km 则有S x 2 x 10 x 20 要求问题化归为求该函数的最小值 可用绝对值三角不等式求解 形如 x a a 0 的含绝对值的不等式的解集 不等式 x a的解集为 x a x a 不等式 x a的解集为 x xa 2 型如 ax b c ax b c c R 不等式解法 试解下列不等式 课堂练习一 3 型如 ax b cx d k k k R 不等式解法 例解不等式 x 1 x 2 5 方法一 利用绝对值的几何意义 体现了数型结合的思想 解 x 1 x 2 5的解为x 3或x 2 所以原不等式的解为 解 当x 1时 原不等式同解于 X 2 X 3 综合上述知不等式的解为 3 当x 2时 原不等式同解于 2 当 2 x 1时 原不等式同解于 方法二 利用 x 1 0 x 2 0的解体 将数轴分为三个区间 然后在这三个区间上将原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解 现了分类讨论的思想 例解不等式 x 1 x 2 5 x 1 x 2 5x 1 x 1 x 2 5 2 x 1 x 1 x 2 5x 2 解原不等式化为 x 1 x 2 5 0 令f x x 1 x 2 5 则 由图象知不等式的解为 方法三 通过构造函数 利用了函数的图象 体现了函数与方程的思想 例解不等式 x 1 x 2 5 利用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法 3 不等式有解的条件是 1 解不等式 2x 4 3x 9 1 B 1 解不等式 2x 4 3x 9 1 解 当x 2时 原不等式同解于 x 2 3 当x
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