2018-2019学年莆田市第一中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省莆田市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1若直线的倾斜角为，则（ ）A等于B等于C等于D等于【答案】C【解析】根据直线方程判断该直线与轴的位置关系，即可求出该直线的倾斜角.【详解】因为直线与轴垂直，因此，.故选：C.【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，解题时要求出直线的斜率，并理解斜率与倾斜角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2如果，那么直线不通过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】判断直线在轴和轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论.【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，如下图所示：因此，直线不通过第二象限.故选：B.【点睛】本题考查直线图象的应用，一般结合截距或斜率来理解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.3如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，和轴垂直，且，则的边上的高为（ ） ABCD【答案】C【解析】过点作轴，计算出，可得出在中，且，进而得出结果.【详解】过点作轴，则，如下图所示，轴， ，则为等腰直角三角形，则，则在中，且，即的边上的高为.故选：C.【点睛】本题考查斜二测直观图的相关计算，一般要求将直观图还原，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4已知三条互不相同的直线和三个互不相同的平面，现给出下列三个命题：若与为异面直线，则；若，则；若，则.其中真命题的个数为（ ）A3B2C1D0【答案】C【解析】通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案.【详解】中，两平面也可能相交，故错误；中，与也可能异面，故错误；中，易知，又，所以由线面平行的性质定理知，同理，所以，故正确.【点睛】本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题.5已知三点、，则（ ）A三点构成等腰三角形B三点构成直角三角形C三点构成等腰直角三角形D三点构不成三角形【答案】B【解析】计算出、，根据三角形三边关系、勾股定理等三角形知识判断即可.【详解】由空间中两点间的距离公式可得，因此，三点构成直角三角形.故选：B.【点睛】本题考查利用空间中两点间的距离公式判断三角形形状，解题的关键就是计算出三边长，结合三角形相关知识进行判断，考查计算能力，属于基础题.6已知圆，过点作圆两条切线，切点分别为、，则圆上有（ ）个点到直线的距离为ABCD【答案】D【解析】计算出，将直线视为以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦所在的直线，即可求出直线的方程，再计算出圆心到直线的距离，即可得出结论.【详解】，圆的半径为，所以，以点为圆心，以为半径的圆的方程为，则两圆相交弦所在直线的方程为，化简得，圆心到直线的距离为，因此，圆上有个点到直线的距离为.故选：D.【点睛】本题考查圆上的点到直线距离为定值的点的个数的求解，同时也考查了切点弦方程的计算，一般转化为两圆相交弦所在直线方程来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.7已知二面角为为垂足，,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：如图所示，过点作，使，垂足为，过点作，过点作，连接，因为，所以，因为，又，所以，所以，在中，设，则，在中，则，在中，则，所以异面直线与所成的角，即是,所以，故选B【考点】空间角的求解问题【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题8已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为( )ABCD【答案】A【解析】圆的方程可化为,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦和最长弦(即圆的直径)垂直,且,所以四边形的面积为,故选A.9平行于且与圆相切的直线方程是( )A或B或C或D或【答案】A【解析】设所求直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出的值，即可得出所求直线的方程.【详解】设所求直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，解得.因此，所求直线的方程为或.故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求直线方程，一般利用几何法转化为圆心到直线的距离等于半径，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.10已知三棱锥，该三棱锥的外接球半径是，则三棱锥四个表面中最大的面积是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用该三棱锥的外接球半径求出，然后求出三棱锥的四个面的面积，由此可得出结论.【详解】如下图所示：，可将三棱锥补成一个长方体，其体对角线长即为外接球直径，所以，得.的面积为，的面积为，的面积为，且，取的中点，连接，则，则的面积为，因此，三棱锥四个表面中最大的面积是.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥最大面面积的计算，同时也涉及了三棱锥的外接球半径，考查计算能力，属于中等题.11已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )ABCD【答案】D【解析】作出图形，由，得出，利用、三点共线可得出的最大值.【详解】如下图所示：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，由圆的几何性质可得，当且仅当、三点共线时，取到最大值.故选：D.【点睛】本题考查折线段长度差的最大值的计算，考查了圆的几何性质的应用以及利用三点共线求最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12已知长方形的四个顶点：、.一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，过点作轴，可得，计算出的取值范围，可得出，由此可得出的取值范围.【详解】将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，如下图所示：延长分别交、于点、，过点作轴，垂足为点，则，由对称性结合图形可知，且有，所以，在中，.故选：B.【点睛】本题考查利用光线反射求角的正切值的取值范围，解题的关键就是利用对称性进行转化，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题13若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为_.【答案】【解析】根据圆柱与圆锥轴截面面积相等计算出两几何体底面半径之比，然后利用锥体和柱体的体积公式可计算出这两个几何体的体积之比.【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为、，高均为，圆柱和圆锥的体积分别为、，则， 所以，圆柱和圆锥的体积之比为.故答案为：.【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积比的计算，涉及轴截面的计算，解题的关键就是计算出这两个几何体的底面半径之比，考查计算能力，属于基础题.14若直线与互相垂直，则点到轴的距离为_.【答案】或【解析】根据两直线垂直得出关于的方程，求出的值，即可得出点到轴的距离.【详解】由于直线与互相垂直，则，可得，解得或，因此，点到轴的距离为或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用两直线的位置关系求参数，同时也考查了点到轴的距离，考查计算能力，属于基础题.15若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围_.【答案】【解析】由题意可知，曲线为圆的右半圆，作出直线与曲线的图象，可知直线是过点且斜率为的直线，求出当直线与曲线相切时k的值，利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围.【详解】对于直线，则直线是过点且斜率为的直线，对于曲线，则，曲线的方程两边平方并整理得，则曲线为圆的右半圆，如下图所示：当直线与曲线相切时，且有，解得，当直线过点时，则有，解得.结合图象可知，当时，直线与曲线有两个交点.故答案为：.【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.16如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点给出下列命题不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥存在点D，使CD与AB垂直并且相等存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是 【答案】【解析】试题分析：四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，AC=BC=，AB=，当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故不正确，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故正确【考点】立体几何点，线，面的位置关系三、解答题17的边边上的中线所在直线的方程为，的高所在直线方程为，顶点.（1）求边所在的直线方程；（2）求顶点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用直线与直线垂直得出直线的斜率，然后利用点斜式方程得出直线的方程；（2）将直线和的方程联立，可求出顶点的坐标.【详解】（1）直线的斜率为，由于直线与直线垂直，所以，边所在的直线的斜率为，因此，边所在的直线的方程为，即；（2）联立直线和的方程得，解得，即点.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查运算求解能力，属于基础题.18求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.【答案】或.【解析】设所求圆的标准方程为，根据直线和都与圆相切得出、之间的等量关系，然后利用点A到圆心的距离等于圆心到直线的距离可求出、的值，进而得出圆的半径，由此可得出所求圆的方程.【详解】设所求圆的标准方程为，由于直线和都与圆相切，则，则或，可得或.若，则圆的方程为，该圆过点，则，整理得，该方程无解；若，则圆的标准方程为，该圆过点，则，整理得，解得或，当时，；当时，.综上所述，所求圆的标准方程为或.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般利用待定系数法求解，注意结合题中条件列方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.19如图，在矩形中，分别为的中点，现将沿折起，得四棱锥 . （1）求证： 平面；（2）若平面平面，求四面体的体积.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连接，只需证明四边形为平行四边形，即有，可得；（2）先证平面，进而四面体的体积.试题解析：(1)取线段的中点，连接，因为为的中点，所以，且，在折叠前，四边形为矩形，为的中点，所以，且.，且,所以四边形为平行四边形，故，又平面平面，所以平面.(2) 在折叠前，四边形为矩形，为的中点，所以都是等腰直角三角形，且，所以，且.又，又平面平面，平面平面平面，所以平面，即为三棱锥的高.因为为的中点，所以，所以四面体的体积.20已知点 ，圆： ，过的动直线与交两点，线段中点为， 为坐标原点（1）求点的轨迹方程；（2）当时，求直线的方程以及面积【答案】（）（）直线的方程为3x-y-8=0，面积是【解析】【详解】试题分析：（）圆C的方程可化为（x-4）2+y2=16，由此能求出圆心为C（4，0），半径为4，设M（x，y），求出向量CM，MP的坐标，由运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M的轨迹方程；（）由（）知M的轨迹是以点N（3，-1）为圆心，为半径的圆由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ONPM，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l的方程利用点到直线距离公式结合已知条件能求出POM的面积试题解析：（）圆C的方程可化为：，所以圆心C(4,0)半径为4设M（x,y）,则（x-4，y），则由条件知， 故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，即由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（）由（）可知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，以为半径的圆又，故O在线段PM的垂直平分线上，显然P在圆N上，从而ONPMKON=,所以直线的斜率为3，故直线的方程为3xy-8=0.又=，O到的距离为，由勾股定理可得|PM|=,所以面积是21如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.（1）求证：；（2）若直线平面，试确定点的位置，并证明你的结论；（3）设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】分析：（1）要证，需证明平面，要证，用综合法书写即可（2）要证明平面，需证明，需证面，需证面，需证：，要证明：，由此确定E点的位置（3）过三等分点作平行线，对于上面的任意一点都有，再求长度详解：（1）证明：连结，是正方形，所以，在正方体中，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以.（2）当时，直线平面.证明如下：过点在平面作交于点，连结，交于点，因为，所以，在与中，所以，又，所以，所以，在正方体中，面，所以面，所以，又，所以面，所以，又，所以直线平面.（3）.点睛：证明线面平行的最终落脚点是证明线线平行；要证线面垂直的最终落脚点是证明线线垂直；在证明的过程中，我们往往可以从问题入手，找结论成立的充分条件，直到为公理、性质为止这样可以充分的分析题意，快速的入手对于探讨型问题，有以下三种作法：（1）先猜想点的位置，再证明结论成立（2）从问题入手，找结论成立的充分条件