课标通用高考数学一轮复习第二章与数Ⅰ2.8函数与方程学案理.docx

2.8函数与方程考纲展示1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解考点1函数零点所在区间的判定1.函数零点的定义对于函数yf(x)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)的零点答案：f(x)02几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_答案：x轴零点3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_上有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是方程f(x)0的根答案：f(a)f(b)0(a，b)f(c)0c4二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法答案：f(a)f(b)0一分为二函数零点理解的误区：零点的概念；零点的个数(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的_答案：(1)交点的横坐标解析：函数的零点不是函数图象与x轴的交点，而是图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数(2)若图象连续不断的函数yf(x)在区间(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上有_零点答案：唯一解析：根据零点存在性定理可知，函数yf(x)在区间(a，b)上存在零点，再根据单调性可得零点唯一二次函数的零点(1)二次函数f(x)ax2bxc(a0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是_答案：ac0解析：数形结合知，二次函数f(x)ax2bxc(a0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是af(0)0，即ac0.(2)函数y(k8)x2x1至多有一个零点，则k的取值范围为_答案：解析：函数至多有一个零点，则：当k8时，令x10，即x1，有一个零点，符合题意；当k8时，令14(k8)0，解得k.故k的取值范围为.典题1(1)2017湖北四地七校联盟高三联考函数f(x)xlog2x的零点所在区间为()A.BC.D答案A解析flog220，即ff0，因此在上至少有一个零点故选A.(2)2017浙江温州模拟如图是二次函数f(x)x2bxa的部分图象，则函数g(x)exf(x)的零点所在的大致区间是()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)答案B解析由图象知1，得1b2，f(x)2xb，所以g(x)exf(x)ex2xb，则g(1)2b0，g(0)1b0，所以g(0)g(1)0.故选B.(3)2017浙江嘉兴模拟设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_答案(1,2)解析设f(x)x3x2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与yx2的图象如图所示因为f(1)1110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)点石成金确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)上至少有一个零点(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点考点2判断函数零点个数(1)教材习题改编函数f(x)ex3x的零点个数是()A0B1C2D3答案：B(2)教材习题改编用“二分法”求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_答案：2,2.5函数零点个数的判断方法：直接求零点；零点存在性定理；图象交点个数(1)若函数f(x)axb的一个零点是2，则函数g(x)bx2ax的零点是_答案：0，解析：因为2ab0，所以g(x)2ax2axax(2x1)，所以零点为0和.(2)给出三个区间，则函数f(x)xln x的零点所在的一个区间是_答案：解析：当x从1趋近于0时，ln x趋近于负无穷大，所以f(x)趋近于负无穷大，而fln10，fln20，f(1)1ln 10，所以函数的零点所在区间是.典题2(1)2017安徽合肥模拟若偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x2，则关于x的方程f(x)x在上的根的个数是()A1B2C3D4答案C解析因为f(x)为偶函数，所以当x1,0时，x0,1，所以f(x)x2，即f(x)x2.又f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，在同一坐标系中作出函数yf(x)与yx在上的图象，如图所示数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)x在上有3个根故选C.(2)2017湖南衡阳模拟函数f(x)的定义域为1,1，图象如图所示；函数g(x)的定义域为2,2，图象如图所示，方程f(g(x)0有m个实数根，方程g(f(x)0有n个实数根，则mn()A14B12 C10D8答案A解析由题图可知，若f(g(x)0，则g(x)1或g(x)0或g(x)1，由题图可知，g(x)1时，x1或x1；g(x)0对应的x值有3个；g(x)1时，x2或x2，故m7.若g(f(x)0，则f(x)1.5或f(x)1.5或f(x)0，由题图知，f(x)1.5与f(x)1.5对应的x值各有2个，f(x)0时，x1或x1或x0，故n7，故mn14.故选A.点石成金判断函数零点个数的三种方法(1)解方程法：若对应方程f(x)0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)1时有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是(，0(1，)考点4二次函数的零点问题二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000图象与x轴的交点_无交点零点个数_答案：(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210典题4已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围解(1)因为不等式f(x)0的解集为1,2，所以a3，于是f(x)x23x2.由f(x)1x2，得2x23x10，解得x或x1，所以不等式f(x)1x2的解集为.(2)函数g(x)2x2ax3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则即解得5a2.所以实数a的取值范围是(5，2)点石成金解决与二次函数有关的零点问题(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解：解法一：设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.故实数a的取值范围为(2,1)解法二：函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，得a2a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1)方法技巧1.判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点4转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题易错防范1.函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根2函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 真题演练集训 12015山东卷设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B0,1C.D1，)答案：C解析：由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11， a，即a2时，g(x)xb4，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)bx，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x80，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x(x)0，无解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有1解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x2x，有无数个解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x70，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为1x2x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，无解所以b1，排除答案C.故选D.32014湖南卷已知函数f(x)x2ex(x0时，yf(x)与yg(x)的图象有交点，即g(x)f(x)有正解，即x2ln(xa)(x)2ex有正解，即exln(xa)0有正解，令F(x)exln(xa)，则F(x)ex0，故函数F(x)exln(xa)在(0，)上是单调递减的，要使方程g(x)f(x)有正解，则存在正数x使得F(x)0，即exln(xa)0，所以aex，又yex在(0，)上单调递减，所以am时，f(x)x22mx4m(xm)2 4mm2，其顶点为(m,4mm2)；当xm时，函数f(x)的图象与直线xm的交点为Q(m，m)当即03时，函数f(x)的图象如图所示，则存在实数b满足4mm2bm，使得直线yb与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意综上，m的取值范围为(3，)52015湖南卷已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_答案：(，0)(1，)解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a0)，其中e表示自然对数的底数(1)若g(x)m有实根，求实数m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根思路分析(1)可将g(x)m有实根转化为一元二次方程有大于零的实根来求解，也可利用基本不等式或根据函数图象求解；(2)利用函数图象得到不等式，解不等式即可解(1)解法一：因为x0，所以g(x)x22e，等号成立的条件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，g(x)m就有实根故实数m的取值范围为2e，)解法二：作出g(x)x(x0)的图象，如图所示观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)m有实根，则只需m2e.故实数m的取值范围为2e，)解法三：由g(x)m，得x2mxe20，故等价于故m2e.故实数m的取值范围为2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点因为f(x)x22ext1(xe)2t1e2，所以函数f(x)图象的对称轴为直线xe，开口向下，最大值为t1e2.由题意，作出g(x)x(x0)及f(x)x22ext1的大致图象，如图所示故当t1e22e，即te22e1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根所以t的取值范围是(e22e1，)典例2设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们的图象在x1处的切线的斜率相等(1)求b的值；(2)若函数F(x)且方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围思路分析解(1)f(x)3ax23a，所以f(1)0.而g(x)2bx，故g(1)2b1，由题意得2b10，解得b.(2)当x(0,1)时，g(x)x0，所以当x1时，g(x)取得极小值g(1).当a0时，易知方程F(x)a2不可能只有四个解当a0时，x(，1)时，f(x)0，所以当x