数学人教版八年级下册利用勾股定理解决平面几何问题.docx

勾股定理 一、教学目标1核心素养:通过学习勾股定理，继续培养数学运算和逻辑推理能力2学习目标（1）利用勾股定理解决最短距离问题（2）灵活运用勾股定理解决综合问题3学习重点会用勾股定理解决最短距离问题4学习难点灵活运用勾股定理解决综合问题二、教学设计（一）课前设计1预习任务思考：通过前几节课的学习，你对勾股定理还有哪些疑问？勾股定理还能解决哪些问题2预习自测1如果梯子的底端距离建筑物7米，那么25米长的梯子可到达的建筑物高度是 米.2在RtABC中，C=90o（1）已知b=8，c=17，求a（2）已知ab=12，c=5，求a.预习自测124.2（1）15 （2）5（二）课堂设计1知识回顾（1）两点之间 最短（2）圆柱体的侧面展开图是什么？长方体的展开图有哪几种？2问题探究问题探究一 利用勾股定理解决最短距离问题 重点、难点知识活动一 初步感知如图有一个圆柱底面周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，求蚂蚁要爬行的最短距离. 我们知道两点之间线段的事实，则需将此侧面展开的得到平面图形，如图所示，则蚂蚁爬行的最短距离为32+42=5.活动二 尝试自解如图有一个正方体的边长为4，一只蚂蚁沿表面爬行，要从A点爬到B点，求蚂蚁要爬行的最短距离. 同上题，也需画出正方体的的展开图，利用两点之间线段最短来解决：最短距离为42+82=45.活动三 变式探究.如图所示，长方体的长度为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求要爬行的最短距离. 解：沿长方体的表面从点A爬一点B的走法有三种：(2)沿左侧面和前面走时，如图1所示，由勾股定理得AB=152+202=625=25，即路线长L1=25.(2)沿右侧面和上底面走时，如图2所示，则由勾股定理得AB=(20+5)2+102=529，即路线长L2=529.(3)沿后侧面和上底面走时，如图3所示，由勾股定理得AB=52+302=925=537，即路线长L3=537.所以需要爬行的最短距离为25. 问题探究二 勾股定理与几何知识综合 重点、难点知识例1如图，已知RtABC的周边为4+23，斜边AB的长为23，则RtABC的面积是多少？【知识点：勾股定理的应用，完全平方式】详解：因为AB=23，所以AC+BC=4，则有(AC+BC)2=42，展开得：AC2+2ACBC+BC2=16，在RtABC中，有AC2+BC2=AB2=(23)2=12，所以2ACBC=4，所ACBC=2，则RtABC的面积是12ACBC=1. 例2 .如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD上的点B处，点A落在点A处. (1)求证：BE=BF(2)设AE= a，AB=b，BF=c，试猜想a,b,c之间的一种关系，并给予证明.【知识点：勾股定理的逆定理】详解：（1）证明：由题意得BF=BF ，BFE=BFE. 在矩形ABCD中，AD/BC，BEF=BFEBFE=BEF，BF=BE，BE=BF.（2）a,b,c三者关系有两种情况：a,b,c三者存在的关系是a2+b2=C2,证明：连接BE，则BE=BE.由（1）知BE=BF=c，BE=c.在ABE中，A=90，AE2+AB2=BE2.AE=a，AB=b，a2+b2=c2.a,b,c三者存在的关系是a+bc（不唯一，满足三角形的三边关系即可）.证明：连接BE，则BE=BE.由（1）知BE=BF=c，BE=c.在ABE中，AE+ABBE,a+bc.7.如图，圆柱形容器高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一只蚊子.此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处.则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m.（容器厚度忽略不计）【知识点：最短距离；数学思想：模型思想】【答案】13m. 点拨：此类最短距离问题，首先应将立体图形的侧面展开图画出（如图），根据两点之间线段最短，作出点A关于MN的对称点A，连接AB，过点B作BCAC，垂足为点C，在RtABC中，AC=1.2m，BC=0.5m，所以AB=AC2+BC2=1.22+0.52=1.3 m.所以最短距离为13m.4随堂检测1.如图有一个圆柱，底圆周长为6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_cm.【知识点：勾股定理，最短距离；数学思想：模型思想】【参考答案】 5【思路点拨】 画出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短可知线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，即AB=32+42=52.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为_【知识点：勾股定理，最短距离；数学思想：模型思想】【答案】 210【解析】画出正方体的侧面展开图，根据两点之间线段最短可知线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，即AB=22+62=210.3. 如图，在长方形ABCD中，ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F.（1）求证：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长. 【知识点：勾股定理，三角形全等；数学思想：方程思想】【解析】（1）证明：在长方形ABCD中，AB=DC，B=D=90o，由折叠可知：AE=AB，E=B=90o AE=DC，E=D.