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第三节格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 一 区域连通性的分类 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域 单连通区域 二 格林公式 定理1 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D总在他的左边 证明 1 同理可证 证明 2 两式相加得 G F 证明 3 由 2 知 L 1 简化曲线积分 三 简单应用 解 2 简化二重积分 解 P和Q及其偏导数在原点处不连续 因此不能在此区域上利用格林公式 注意格林公式的条件 3 计算平面面积 解 四 小结 1 连通区域的概念 2 二重积分与曲线积分的关系 3 格林公式的应用 格林公式 一 曲线积分与路径无关的定义 B A 如果在区域G内有 二 曲线积分与路径无关的条件 定理2 有关定理的说明 两者缺一不可 若G是复连通区域 三 二元函数的全微分求积 定义 定理3 说明1 说明2 说明3 定积分的牛顿 莱布尼兹公式的推广 解 解 三 全微分方程 如果一阶微分方程可以写成 由上一节的讨论知 该微分方程的通解即为该二元函数 即u x y C 解 四 小结 与路径无关的四个等价命题 条件 等价命题 作业 P2681 6 7 8 P26923 2 4 4 2 5 3 6 3 练习题 练习题答案 若区域如图为复连通域 试描述格林公式中曲线积分中
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