「三重积分 柱坐标与极坐标【高等教育】」.ppt

利用柱坐标计算三重积分的步骤 考虑是否用柱坐标计算 化为柱坐标系下三重积分 积分次序 定限方法 化为累次积分 计算累次积分 注意 对一个变量积分时 将其余变量视为常数 的投影为圆或圆的一部分 三变 一勿忘 积分区域 柱坐标表示 被积函数 体积元素 一个勿忘 一般先z后 再 投影 发射 1 高等课件 利用球坐标计算三重积分的步骤 考虑是否用球坐标计算 化为球坐标系下三重积分 积分次序 定限方法 化为累次积分 计算累次积分 注意 对一个变量积分时 将其余变量视为常数 的球或球的一部分 f x y z 中含有 三变 一勿忘 积分区域 球坐标表示 被积函数 体积元素 一个勿忘 一般先r后 再 观察 想象 2 高等课件 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 计算时将三重积分化为三次积分 小结 方法1 先一后二 方法2 先二后一 3 高等课件 2 确定上下曲面函数 得z的积分限 1 把 往xoy平面上投影 得积分区域D 3 先求关于z的定积分 得x y的二元函数 4 再求关于x y的二重积分 先一后二 积分法的基本步骤 对z a b 用过点 0 0 z 且平行xOy平面的平面去截 得截面Dz 1 把 向z轴投影 得z的积分限 a b 3 先求关于x y的二重积分 得 先二后一 积分法的基本步骤 4 最后计算单积分 4 高等课件 第三节 一 三重积分的概念 二 三重积分的计算 三重积分 第十章 5 高等课件 回忆用投影法 先一后二 计算三重积分 如果积分区域 在坐标面上的投影区域D是圆域 则二重积分应当考虑用极坐标计算 这就等于用柱面坐标计算三重积分 2 利用柱坐标计算三重积分 6 高等课件 2 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 7 高等课件 在柱面坐标系中体积元素为 因此 元素区域由六个坐标面围成 8 高等课件 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 9 高等课件 常见曲面的柱面坐标方程 半球面 圆锥面 旋转抛物面 圆柱面 圆柱面 圆柱面 10 高等课件 常见曲面的柱面坐标方程 11 高等课件 2 利用公式 用柱面坐标计算三重积分的一般步骤 1 将区域 往xoy面上投影 确定平面区域D 3 过D内任一点 x y 做平行于z轴的直线 穿区域 确定z的上下限 4 在D上分别确定r 上下限 类同于平面极坐标 次序为 z r 将 的边界曲面 被积函数f x y z 体积元素 三重积分化为柱面坐标系下形式 柱面坐标常用于 圆柱体和圆锥体上的三重积分 12 高等课件 例1 计算三重积分 所围成 与平面 其中 由抛物面 在柱面坐标系下 原式 解 在xOy面上的投影区域D 上边界曲面为z 4 下边界曲面为z 13 高等课件 例2 计算 解 故 在xOy平面 得交线 上投影区域为 所围成 与平面 其中 由圆锥面 上边界曲面为z 4 下边界曲面为z 14 高等课件 解 例3 计算三重积分 所围成 与抛物面 其中 由球面 知交线为 由 原式 上边界 下边界 15 高等课件 其中 为 例4 计算三重积分 所 解 在柱面坐标系下 及平面 由柱面 围成半圆柱体 16 高等课件 3 利用球坐标计算三重积分 就称为点M的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 17 高等课件 半平面 及 d 半径为r及r dr的球面 圆锥面 及 d r dr d rsin 圆锥面 rd 球面r 圆锥面 d 球面r dr 元素区域由六个坐标面围成 d rsin d 球面坐标下的体积元素 18 高等课件 元素区域由六个坐标面围成 球面坐标下的体积元素 半平面 及 d 半径为r及r dr的球面 圆锥面 及 d r dr d x z y 0 d rd rsin d dv 19 高等课件 如图所示 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 20 高等课件 球面坐标 直角坐标 球体 下面介绍一些区域的球面坐标的描述 21 高等课件 球面坐标 直角坐标 球体 22 高等课件 球面坐标 直角坐标 球顶锥体 23 高等课件 常见的曲面在球坐标下的方程 24 高等课件 次序为 r 2 将区域 往xoy面上投影 确定平面区域D 4 过原点做射线 穿区域 确定r的上下限 1 关系式 3 对任一 过z轴做半平面 找出 角变化最 用球面坐标计算三重积分的一般步骤 将 的边界曲面 被积函数f x y z 体积元素 三重积分化为球面坐标系下形式 由D找出 的上下限 大的与 的截面 确定 的上下限 注 当积分区域由球面 锥面或其一部分所围时 选用球面坐标计算较简便 25 高等课件 例5 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体 其中 与球面 26 高等课件 例6 求半径为a的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 解 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 27 高等课件 求半径为a的球面与半顶角为 的内接锥面所围成 于是所求立体的体积为 此球面的方程为x2 y2 z a 2 a2 即x2 y2 z2 2az 例6 的立体的体积 由圆锥面和球面围成 解 采用球面坐标 锥面方程为 在球面坐标下球面方程为r 2acos 28 高等课件 例7 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体 其中 面 是由两个球 29 高等课件 30 高等课件 解 例7 计算三重积分 所围立体 其中 面 是由两个球 原式 31 高等课件 a M r 解 在球面坐标系下 10 2 计算 其中 由不等式 所确定 32 高等课件 解 在球面坐标系下 10 2 计算 其中 由不等式 所确定 33 高等课件 所围成的闭区域 11 2 计算 其中 是由球面 解 在球面坐标系下 34 高等课件 所围成的闭区域 10 1 计算 其中 是由球面 解 在球面坐标系下 35 高等课件 所围成的在第一卦限内的闭区域 11 1 计算 其中 为柱面 解 在柱面坐标系下 及平面 36 高等课件 11 2 求曲面 所围立体体积 解 由曲面方程可知 立体位于xOy面上部 利用对称性 所求立体体积为 yOz面对称 并与xOy面相切 故在球坐标系下所围立体为 且关于xOz 37 高等课件 3 设 由锥面 和球面 所围成 计算 提示 利用对称性 用球坐标 38 高等课件 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁 或 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 对应雅可比行列式为 变量可分离 围成 39 高等课件 作业 P1649 10 11 1 2 第四节 40 高等课件 例7 求曲面 所围立体体积 解 由曲面方程可知 立体位于xOy面上部 利用对称性 所求立体体积为 yOz面对称 并与xOy面相切 故在球坐标系下所围立体为 且关于xOz 41 高等课件 3 计算 其中 解 利用对称性 42 高等课件 1 将 用三次积分表示 其中 由 所 提示 思考与练习 六个平面 围成 43 高等课件 44 例8 解1 解2 44 高等课件 例9 解 45 高等课件 例10 解 46 高等课件 备用题1 计算 所围成 其中 由 分析 若用 先二后一 则有 计算较繁 采用 三次积分 较好 47 高等课件 所围 故可 思考