生活数学与智巧趣题2010-10-25.ppt

生活数学与智巧趣题 主讲人 吕建国 学大教育北京分公司小学数学教研活动系列 主讲内容 奇偶性问题完全平方数挑次品归纳法枚举法 抢数 游戏抽屉原理公倍数问题 二进制问题行程问题钟表问题时间差问题比例问题经济问题银行利率剩余定理 例1 奇偶性的应用 1 某班同学参加学校的数学竞赛 共30道试题 评分标准是 答对一题给3分 答错倒扣1分 不答给1分 请你说明 该班同学得分总和一定是偶数 分析每个学生的得分数都是偶数 是解答此题的关键所在 解对每个学生来说 30道题都答对可得90分 是个偶数 如答错一题 就相差4分 不管答错几题 4的倍数都是偶数 90减去偶数还是偶数 同样 如不答一题 就相差2分 不管不答几题 2的倍数都是偶数 偶数减去偶数还是偶数 因此 每个学生的得分数都是偶数 而偶数的和仍是偶数 故全班同学得分数的总和一定是偶数 例2 奇偶性的应用 2 桌上有9只杯子 全部口朝上 每次将其中6只同时 翻转 请说明 无论经过多少次这样的 翻转 都不能使9只杯子全部口朝下 解答 要使一只杯子口朝下 必须经过奇数次 翻转 要使9只杯子口全朝下 必须经过9个奇数之和次 翻转 即 翻转 的总次数为奇数 但是 按规定每次翻转6只杯子 无论经过多少次 翻转 翻转的总次数只能是偶数次 因此无论经过多少次 翻转 都不能使9只杯子全部口朝下 例3 完全平方数的应用少年宫游乐厅悬挂着200个彩色灯泡 这些灯泡或明或暗 十分有趣 这200个灯泡按1 200编号 它们的亮暗规则是 第一秒 全部灯泡变亮 第二秒 凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗 第三秒 凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态 即亮的变暗 暗的变亮 一般地 第秒凡编号为的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态 这样继续下去 每4分钟一个周期 问 第200秒时 明亮的灯泡有多少个 解答 某个灯泡 如果他的亮暗变化次数是奇数 那么它是明亮的 根据题意可知 号码为的灯泡 亮暗变化次数等于的约数的个数 若得约数的个数是奇数 则一定是平方数 所以200秒时 那些编号是平方数的灯泡是明亮的 因为200以内有14个平方数 所以200秒时明亮的灯泡有14个 例4 用归纳法解决数学问题老师给冬冬布置了12篇作文 规定他每天至少写一篇 最多能写3篇 那么他共有多少种写完作文的方法 例5 枚举法解决数学问题从1到100的自然数中 每次取出两个数 要使它们的和大于100 共有多少种取法 提示 用枚举法 此类方法适合于数目 种类不很繁杂的题 且分析时应尽量做到分类全面 不重不漏 例6 排队报数问题一个班有40人 站成一排 从左到右一次进行 1 2 报数 报1的人走开 剩下的人继续从左到右依次进行 1 2 报数 如此下去 直到只剩下一个人为止 最后剩下的一个人是哪一个人 点拨 最后剩下的人所对应的号数应该是含有因数2最多的 即32 解答 把全班所有的人从左到右依次编号 1 2 3 4 5 40第一次报完 剩下的人 号码是2的倍数 第二次报完 剩下的人 号码是4的倍数 第三次报完 剩下的人 号码是8的倍数 第四次报完 剩下的人 号码是16的倍数 第五次报完 剩下的人 号码是32的倍数 所以最后剩下的那个人是第32号 例7 抢30 游戏小明与弟弟在玩一种 抢报30 的游戏 从1开始到30 两人轮流报数 每人每次最多报两个数 不能不报 谁先抢到 30 算赢 请问 在他们先报与后报的人中 谁有必胜的策略 点拨 每次能报1个或2个 当对手报1个时 自己就报2个 对手报2个时 自己就报1个 这种方法可以简称为 凑3 解答 可以以3个数为一组 对手报的是3个数的一部分 自己报的是最后一部分 因此30 3 10 没有余数 所以应该让对方先报 后报的人有必胜策略 就是 凑3 例8 取棋子游戏一堆棋子共有2002个 甲 乙两人玩轮流取棋子的游戏 甲先取 乙后取 并且规定每次取的棋子不能超过7粒 但不能不取 如果规定取到最后一粒的人为胜者 那么甲应如何制定策略以取胜 例9 挑次品 今有101枚硬币 其中有100枚同样的真币和1枚伪币 伪币与真币和重量不同 现需弄清楚伪币究竟比真币轻 还是比真币重 但只有一架没有砝码的天平 那么怎样利用这架天平称两次 来达到目的 解答 分成50 50 1三堆 第一次称两个50 如果平了 第二次从这100个任意拿1个 当然是真的 与第三堆的1个称 自然会出结果 第一次称两个50不平是正常的 第二次我们把其中的一堆 或重的或轻的都行 分成25 25 称第二次 1 把轻的分成25 25 如果平了 说明那堆重的有假 当然假的是超重 如果不平 说明这50个轻的有假 假的是轻了 2 把重的分成25 25 道理同上 所以两次可以发现轻重 但是找不出哪个是假的 例10 挑次品 2 有27颗珍珠 其中一颗是假珍珠 这颗假珍珠外观上不易察觉 只是稍轻一些 现有一架天平 要想把假珍珠找出来 至少要称多少次 例11 抽屉原理一个小组共有13名同学 其中至少有2名同学同一个月过生日 为什么 解答 每年里共有12个月 任何一个人的生日 一定在其中的某一个月 如果把这12个月看成12个 抽屉 把13名同学的生日看成13只 苹果 把13只苹果放进12个抽屉里 一定有一个抽屉里至少放2个苹果 也就是说 至少有2名同学在同一个月过生日 例12 公倍数问题 一次会餐供有三种饮料 餐后统计 三种饮料共用了65瓶 平均每2个人饮用一瓶A饮料 每3人饮用一瓶B饮料 每4人饮用一瓶C饮料 问参加会餐的人数是多少人 点拨 参加会餐人数应是2 3 4的公倍数 解答 2 3 4 12 参加会餐人数应是12的倍数 12 2 12 3 12 4 6 4 3 13 瓶 可见12个人要用6瓶A饮料 4瓶B饮料 3瓶C饮料 共用13瓶饮料 又因为65 13 5 所以参加会餐的总人数应是12的5倍 12 5 60 人 答 参加会餐的总人数是60人 例13 二进制问题150粒糖果需至少装在几个盒子中 就能保证150以内所有糖果数都可用几只盒子凑齐 而不必打开盒子 此时每只盒子里放多少粒糖 例14 行程问题 1 甲 乙两人同时从两地出发 相向而行 距离是100千米 甲每小时走6千米 乙每小时走4千米 甲带着一只狗 狗每小时走10千米 这只狗同甲一道出发 碰到乙的时候 它又掉头朝甲这边走 碰到甲时又往乙那边走 直到两人相遇 问这只狗一共走了多少千米 例15 行程问题 2 一班 二班同学从学校出发 在距学校18km的林场植树 因车少人多 只能两班共乘一辆汽车前往 一班先乘车 二班步行 汽车行至中途A地 一班同学下车步行 汽车立即返回接二班同学 最后两班同学同时到达林场 已知汽车时速60km h 步行速度为4km h 同学们上下车的时间忽略不计 求两班同学从学校出发到林场需多长时间 例16 比例问题车过河交渡费3元 马过河交渡费2元 人过河交渡费1元 某天过河的车和马数目的比为2 9 马和人数目的比为3 7 共收得渡费945元 这天渡过的车 马和人的数目各是多少 例17 钟表问题4点到5点之间 什么时刻时钟的两针成一直线 例18 时间差问题老王有一个挂钟 这天因挂钟忘了上发条而停了 他到集市购买日用品 出门前他先上紧挂钟的发条 看了当时的时间是上午6 35 时间不准 途中经过电信局 电信局的时钟是上午9 00 标准时间 到集市采购完 又经原路经过电信局 看到电信局的时钟是上午10 00 回到家里 墙上的挂钟指向上午10 35 如果老王到集市来回路上所用时间相同 那么这时的标准时间是多少 点拨 老王出门共花了4个小时 由于老王到集市来回路上所用时间相同 时间也相同 解答 电信局 集市 电信局共花了1小时 可以计算出电信局到家需要3 2 1 5小时 即此时应为11 30图示为 家 6 35 电信局 9 00 集市 电信局 10 00 家 10 35 例19 经济问题某商品按20 的利润定价 然后按八折出售 结果亏损了64元 这件商品的成本是多少元 点拨 利润问题常用的公式有 1 利润 售价 成本 2 售价 成本 1 利润率 3 成本 售价 1 利润率 4 利润率 售价 成本 成本 100 通常假设成本为 1 解答 假设成本为 1 按20 的利润定价 然后按八折 售价变成了 显然比成本 1 低了 亏损1 0 96 0 04 所以成本为 64 0 04 1600 元 例20 银行利率问题某个体商人以年利息14 的利率借别人4500元 第一年末偿还2130元 第二年以某种货物80件偿还一部分 第三年还2736元结清 他第二年末还债的货物每件价值多少元 点拨 根据 总利息 本金 利率 时间 解答 解 第一年末的本利和 4500 4500 14 1 5130 元 第二年起计息的本金 5130 2130 3000 元 第二年末的本利和 3000 3000 14 1 3420 元 第三年的本利和为2736元 故第三年初的本金为 2736 1 14 2736 1 14 2400 元 第二年末已还款的金额为3420 2400 1020 元 每件货物的单价为1020 80 12 75 元 例21 剩余定理的应用一个数除以5余4 除以8余3 除以11余2 求满足条件的最小的自然数 解答 先看大数11 11 2 13 满足最大的条件 只需要再加上11的倍数 看它是不是能除以8余3 13 11 24 除以8余0 11比8大3 所以再加1个11就能除以8余3了 就是13 11 2 35 再看8和11的最小公倍数是88 把35加上88的倍数满足除以5余4就可以了 35 88 123除以5余3 88除以5余3 要想余4 需要3个88 余9除以5就是余4了 即 35 88 3 299 例22 剩余定理的应用 2 有一个年级的同学 每9人一排多5人 每7人一排多1人 每5人一排多2人 问这个年级至