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Mathcad 实验文件编号及内容实验序号(同文件名)实验内容01微积分运算(一) 极限运算02微积分运算(二) 求导数运算03微积分运算(三) 求偏导数运算04微积分运算(四) 积分运算等05微积分运算(五) 重积分运算06微积分运算(六) 重积分运算, 积分变换07矩阵运算实例08求线性方程组的方法09求解线性规划问题10求多元函数的无条件极值 11求多元函数的条件极值12求矩阵的特征值和特征向量13输出特殊矩阵14输出函数表15产生锥面以及与平面的截口16输出规则的平面图形17空间图形及其编辑18山地图形模拟19据给定的平面曲线产生旋转面20迭代法求法方程的根21求方程根的函数22两分法求方程的根23用 Z 变换求解差分方程24常微分方程求解函数25求解常微分方程的初值问题26求解常微分方程组的初值问题27 值的模拟与计算28概率论中生日问题的模拟29Mathcad 编程举例（1）30Mathcad 编程举例（2）31Mathcad 编程举例（3）程序的递归32用待定系数法求插值多项式33单因素方差分析程序34超几何分布35一元线性回归问题求解 36概率计算举例Exam ProblemMathcad 考试试题范例Exam KeyMathcad 考试试题范例参考解答实验1微积分运算(一)极限运算本文档练习使用Mathcad,1.计算数列的极限.2.计算函数的极限.计算极限时, 首先使用热键 Ctrl+L 输入极限符号.在极限符号的各占位符处输入表达式和变化过程.使用热键Ctrl+执行符号运算. 符号切记极限运算中不可直接使用=.n为符号运算“等号”.- 3nan1. (1)lim1 + 1 exp(1)lim1 + 1 exp(-3)lim1 + 1 exp(a)n n 3 2n n n n (2)limn n sin(n! ) 0n + 1nk1lim(n 2 + n - n) 1n2n1limn 313n + 1 -n2323knn2 + k -2(3)nlim2 = 1 n2limn k = 0 0(n + k)2klimn n(n + 2 -n - 3) 52limn n1 + 2n + 3n 31521lim - -2limx sin(x)cos 02 (1)1 - xx - 11 - xx 0 x 3 lim 2 + 3 xx+1 exp -1 limx 2 atan(x) exp -2 x 3 + 3x 3 x p p limx 0 1 + tan( x) - sin( x) + 1 134xx2limx 0(1 + 2tan(x)cot( x) 2)2 exp(2) 22lim x + 1 exp(2)limsec( x) - 2tan( x)1 21 + cos(4x)2x x- 1 px 4( 3)ln( x+1)2x-pexp x- 1(2) limx 1limtan(x) 1lim 4x 0 +p -x 23xcos(t2) dtx 0 +1 - cosx(1 - cos(x)(3) lim 0 3x 0 x0t2exp(-t2) dt实验01.mcd12003-2-7实验微积分运算(二)求导数运算本文档用 Mathcad 作求导数的运算:1. 求一元函数的导数, 求高阶导数.2. 求由参数方程确定的函数的导数.求导数的基本操作方法 :定义函数f(x).使用热键Shift+/输入d f(x)dx k或d kf(x) dx, 在右边占位符处输入f(x).使用Ctrl+执行符号运算, 如果输出结果较复杂, 可点击Symbolc板上的simplify 按钮, 使得结果尽可能得到简化.21. (1)2f(x) := ex cos(e- 2x)d f(x) simplifydx 2xexp(x )cos(exp(-2x) + 2sin(exp(-2x)expx(x - 2)h(x) :=xsin(x)1 - exp(x)d h(x) simplify-1 ( -2sin( x) + 2 sin( x) exp( x) - 2 x cos( x) + 2x cos(x) exp(x) + x sin(x) exp(x) )dx412 1 12 xsin(x)(1 - exp(x)(1 - exp(x) 2d ln(f(x) simplifydx2 d ( xcos( exp( -2x) ) + sin( exp( -2x) exp( -2 x) 2cos(exp(-2x)(2-cos( exp( -2x) + 2cos( exp( -2x) ) sin(exp(-2x) ) exp( -2x) + 2 exp( -4x)2ln(f(x) simplify dx2 -2cos(exp(-2x)22(2)g(x) := x sin(2x)d g(x) 2xsin(2x) + 2x cos(2x)dxh(x) := ln(1 + x)10dh(x) 10-3628801587178291200dh(x) 15dx(x + 1)10dx(x + 1)151. 如果要求给定函数在某点处的导数值, 并赋值.2. 然后执行求导运算即可.在当前工作页内,换名定义局部变量,u := 05d g(u) -160cos(0) = -160d5u10dh(u) -362880d10u2 cos(t) x(t) :=1 + sin(t)2y(t) :=sin( t) cos( t) 1 + sin(t)2双纽线实验02.mcd12003-2-7d y(t)ddt y(x) =x(t)d y(t) dt simplifyx(t) -( 3cos(t)2 - 2) sin(t)(2 + cos(t) )dxdd2dtdtx(a, t) := a(t - sin(t)y(a, t) := a(1 - cos(t)摆线d y(a, t) dtd x(a, t) dtsin(t)(1 - cos(t)实验02.mcd22003-2-7实验3微积分运算(三)求偏导数运算1. 求多元函数的导数.2. 求隐函数的导数.x(1) 设 f(x, y) := 2sin(x + y), 求偏导数.f(x,y)的图形fxf(x,y) 2xsin(x + y) + 2cos(x + y)xf(x,y) 2cos(x + y)xy2xf(x,y) 2sin(x + y) + 4xcos(x + y) - 2sin(x + y)x2222f(x,y) -x sin(x + y)y2f(x, y) 2xcos(x + y) - x sin(x + y)x ypu :=pv :=f(u,v) 21 psinp +121 p cosp = 2.09436u3 29 2f(u,v) 121 p cosp = 0v9 2f(x, y,z) :=sin(x)2 + sin(y)2 + sin(z)2f(x,y, z) x1 12(sin(x)2 + sin(y)2 + sin(z)2)sin(x)cos(x)g(x, y) := ln(ex+ ey) g(x,y) -xg(x,y) simplifyy-(-exp(x) + exp(y)(exp(x) + exp(y)(2) 已知方程 ln(x + y ) = atan 确定的隐函数, 求.22(22) yy xdydx-F dyxF(x, y) := lnx + y- atan x=dxFy()xF(x, y) simplify (x + y)yF(x, y) simplify-(-y + x)() 22x + y22x + yD(x,y) := -F(x, y)xF(x, y)yD(x,y) simplify(x + y)(-y + x)实验4微积分运算(四） 积分运算等本文档介绍求导数的另一种方法: 直接执行菜单命令. 以及其他的微积分运算. (1) 求函数的导函数与在特定点处的导数值:直接对函数表达式执行菜单命令求导:sin(x) ex + cos(x)2选中自变量x, 执行菜单命令symbols/Variable/Differentiate得到:cos(x) exp(x) + sin(x) exp(x) - 2 cos(x) sin(x)2 cos(x) exp(x) + 2 sin(x)2 - 2 cos(x)2-2 sin(x) exp(x) + 2 cos(x) exp(x) + 8 sin(x) cos(x)一阶导数, 重复操作得到: 二阶导数, 重复操作得到: 三阶导数, 重复操作得到:-4 sin(x) exp(x) + 8 cos(x)2 - 8 sin(x)2四阶导数, 重复操作得到:定义函数, 应用Calculus运算板上的求导数按钮:f(x) := sin(x) ex + cos(x)2d f(x) cos(x) exp(x) + sin(x) exp(x) - 2 cos(x) sin(x)dxn := 6n d2nf(x) -8 cos(x) exp(x) + 32 sin(x) dx- 32 cos(x)2px :=3d f(x) = 3.027dx 5d 5f(x) = -29.427 dx2d d111f(x) 2 cos p exp p + 2 sin p2- 2 cos 1 pdxdx 3 3 3 3(2) 求不定积分和定积分: f(x) dx p-1 cos(x) exp(x) +21 sin(x) exp(x) +211 cos(x) sin(x) + x 22 f(x) dx 0 exp(p) +1211 p +221= 13.6412296pf( y)3 cos(x)3 dx cos(x)3 sin(x) + sin(x)30123y3 x exp(x) dx 3 exp(x) - 3 2x exp(x) + 6 x exp(x) - 6 exp(x)x10dx 1 dx11 x ln(x + 1) dx sin(x)m sin(x)m4p112-b cos p b + a sin p b exp(a x) sin(b x) dx exp 1 p a 2 2 0(a2 + b 2)+ b (a2 + b 2) 2a := 2b := 3p21a2 sin(x)2 + b2 cos(x)2 + 101dx 202 p(3)级数展开sin(x) ex + cos(x)2选中自变量x, 执行菜单命令symbols/Variable/Expand to Series得到:1 + 1 x +13 x +314 x -31 5 + O(x )6x30ef(t) := sin(t) t+ cos(t)2f(t) series, t , 713 1 + t + t +141 51 6 t - t - t使用符号运算板上的series按钮3(4) 求函数的极限33018S(n) :=n12 k = 1 klimn S(n)12 p6k = 1112 p26klimn 2nnnk = 1n(2 k - 1)k = 1(2 k) 1lim 0n n!lim px 2ln(sin(x)-1(p - 2 x)28limx 01 + x - 133 1 + x - 12limx 01x sin(x) + 1 - 12exp(x ) - 1 2limpx (1 + 3 cot(x)sec(x) exp(3)limx 0 +x (ln(x + 1) - ln(x) 0lim2sin(t) t21limsin(t) et1lim1 -4 t exp(-4)t 0sin(3t3)3t 0 +sin(3t)3t t tn e tln( 3t + 1)limsin(x) - x cos(x)12limt - 0limt 0 3t sin(t)x 0sin(x)33lim1x 1-x exp(-1)lim(1 - x) tan p 2limlnx1 1xx 1x 1 2px 0 + x limx 2 atan(x) exp -2 lim1x 2 acos(x) 0x p p x 1 - p(5)求弧长和旋转体体积p 1 + f(x)2 dx = 14.15601p0 到 p 上曲线f(x)的弧长. p f(x)2 dx p exp(2 p) + p exp(p) +3211 p + p = 243.9322858040S(n) :=n12 k = 1 kn := 10000 , 50000 . 1000006 S(n)=3.141497163947213.141573555129573.1415820433013实验5微积分运算(五)求重积分运算本工作页进行多元函数的重积分的实验.1. 定义多元函数, 事前弄清积分区域.2. 将积分表为累次积分形式, 可以使用符号运算(如果有符号解) ,或者求出浮点解. 输入定积分号的热键Shift+7.3. 必要时, 可以借助Mathcad的图形功能, 生成区域图形, 直观地确 定积分区域.积分域11-x01x例1 求函数 f(x,y) 在(x,y)| x0, y0, x+ya 上的积分.f(x, y) := 1 - x - ya a-x 2 3 f(x, y) dy dx 1 a2 0 01- a 3a a-y 2 3 f(x, y) dx dy 1 a2 0 01- a 3a a-x 1 - x - y dy dx 0 01 21 3a -a231 1-y f(x,y) dx dy 16 00a a-xa := 3 1 - x - y dy dx -92 x - x20 0例2 求函数 f(x,y) 在(x,y)| x2+y2x 上的积分.A(x) :=B(x) := -A(x)y =x 0.5x2A(x)B(x) 00.510.5xg(x, y) :=x1 x-x2 I := x dy dx 8 I 150- x-x2例3 求函数 f(x,y) 在 (x,y)| y x y2, 1 y sqrt(3) 上的积分.f(x, y) := y 在Mathcad中, 当在工作页的下方定义了与上方tong名的函数+xy22时, 将自动地复盖前面的函数.x2311x0123x2 3 y1 1I := 1f(x,y) dx dyyI p123 - ln(2)2I = 0.10688 3 x3 3-11 I1 := f(x, y) dy dx + f(x, y) dy dxI1 simplify ln(2) + p 3 2121x3x例4 求函数 f(x,y) 在 (x,y)| 1/x y 2, 1 x 2 上的积分.ef(x, y) := y xy312221x 10.501234x2 2I := f(x, y) dy dx1I exp(4) - exp(2) 12 1 x1I1 := 22 f(x, y) dx dy + 2 f(x, y) dx dyI1 1exp(4) - exp(2)11 2 112y例5 求函数u= f(x,y,z) 在 (x,y,z)| 0 x 2, 0 y 2-x , 0 z 2-x-y 上的积分.222 2-x 2-x-yf(x, y,z) := (x + y )z 000f(x, y,z) dz dy dx 88315例5 求函数u= f(x,y) 的广义积分.1x () x + y ()dy dx 11ln(2) +p1x x y dy dx 1ln(2)22 x + y 0024224 x + y 00c c -x2 2y x 2111 x 1 dy dx c4dy dx ln(2)xc - 226 222+ xy 2 20x0 - c -x1 1-x2 1 dy dx 2p 1 dy dx 1222 2 1 - x - yx y11- 1 -1-x22 2 8xye- (x +y ) dy dx 10x11dy dx (x + y + 1)320011 以 xdy dx 为例, Mathcad中, 计算重积分的过程可分解为:+ 22 xy 0x1x dy atan 1 - 1 p1 atan 1 -1p dx 1ln(2)+22 xyx x 4 x 420在计算广义积分11 xydy dx不能得到符号解.系统提示 ( 2 x 0032+ y2)Cant divide by zero 表示在运算中出现了0作除数的情况. 分解成两步来 求解可以得到: 内层积分为1x y dy simplify 1csgn(x) 3(y )+22 2x2xx( 2+ 1) 1 2 ( 2+ 1) 1 2 x02 1 + 2xx 1 1csgn(x) dx2 x(x( ) 1 2 1 (x() 2 2 + 1)1 + 2 + 1) 2x02x x将被积表达式改写成:csgn( x) ,对这个函数求积分:x2 + 1(x +2 + 1)1csgn(x) 1 1 xy x dx 2 -2dy dx = 2 -2xx2 + 1 + (02 + 1) 3 (y ) 22 2 x + 00实验6微积分运算(六)重积分运算,积分变换本工作页继续进行多元函数的重积分的实验.1. 用极坐标变换求积分. Polar coordinates2. 用球坐标变换求积分. Sphere coordinates3. 用柱坐标变换求积分. Cylindrical coordinates1 变换的Jackob行列式(1) 极坐标变换 d Rp(r, q)0d Rp(r, q)1 Rp(r, q) := rcos(q ) rsin(q )Jp(r, q) := drdrJpolar(r, q) simplify Jpolar(r, q)d d Rp(r, q)0Rp(r, q)1 dqdq(2) 球坐标变换 d Rs(r,f, j)0d Rs(r,f, j)1d Rs(r,f, j)2 rsin(f)cos(j ) drd drdrd d Rs(r,f, j) := rsin(f)sin(j ) Js(r, f,j) :=Rs(r, f,j)0Rs(r, f,j)1Rs(r, f,j)2 rcos(f) dfdfdf()d d Rs r, f,j 0Rs(r, f,j)1d()Rs r, f,j 2Js(r, f,j) simplifyr sin(f) 2djdjdj(3) 柱坐标变换 d Rc(r, f, z)0d Rc(r, f, z)1d Rc(r, f,z)2 rcos(f) drdrd d drd Rc(r, f, z) := rsin(f) Jc(r, f,z) :=Rc(r, f, z)0Rc(r, f,z)1Rc(r, f, z)2 zdfd dfdfd d Rs(r,f, z)0Rc(r, f,z)1Rc(r, f, z)2 Jc(r, f,z) simplify rdzdzdz2 利用以上各种变换计算重积分.例1 计算二重积分, 积分域D=(x,y)|x2+y21 11 1-x2 1 12 12x+y 1 + 22dy dx - 1ln-(-1 + x)(x + 1)+2 - ln-(-1 + x)(x + 1)+2 dx = 2.x- 1 -1- 2在直角坐标下求不出符号解. 应用极坐标变换:2p 1r dr dq 22p - 2p = 2.60258r1 + 2001 1-x2 2p 1 2221 - x - y dy dx = 1.793无符号解1 - r r dr dq 12p - p = 1.793x+y 1 + 221 + 22rx- 1 -1- 200112p 1 r2 = t2rdr = dt1 - 2rr 1 + 2substitute , r =2t (1 - t)(1 + t)2 (1 - t) 1(1 + t)2200dt dq 12p - p22在圆环域1x2+y24上计算 ln(x+ y ) 的积分.应用极坐标.2p2ln( )2r r dr dq 8pln(2) - 3p01例2 计算三重积分222(1) 计算椭球体 x + y +z = 1 的体积.2a2b2cpp2V(a, b, c) := 8abc212 r sin(f) dr df djV(a, b, c) 4abcp0003直接在直角坐标下求出的符号解为:x2ab 1-22xyc 1- -1 b 2 22 a a2ln(b) + ln2 8 1 dz dy dx 4 b ca 0 00312 -1 2bx(a,r ,q) := arcos(q )y(b, r ,q) := brsin(q )J(a,b, r , q) := abrp21 24V2(a, b,c) := 80 c01 - rabr dr dqV2(a, b,c) pcab3(2) 计算函数u=xyz在D=(x,y)| x2 +y2+z20上的积分2 22 2 232a a -x a -x -yxyz dz dy dx 1 a648xyz = r sin(f)cos(f)sin(q )2cos(q )J = r sin(q )0 00p2a p25r sin(f)cos(f)sin(q )3cos(q ) dq df dr 1a6480 00222(3) 计算函数 u =x + y + z在D=(x,y)| x2 +y2+z21上的积分x-y1 - 22- z22p p 1 r 22 r sin(q ) dr dq df 3 p224 0001 - rxy计算函数 u = z2 - 2- 2在D=(x,y)| x2 +y2a2, |z|a上的积分, 应用柱坐标变换. 2pI(a) := a a (z2- 2 r dz dr dfI(a) -15par )00 - a3w(4) 计算x(2/3)+y(2/3)+z(2/3)a(2/3)所界定的闭域的体积. 右图为该立体在第一卦线中的一部分.ux = a 3y = a 3z = a 3v3 1 1-u21-u2 v2-2 2 2V(a) := 827a 000u v wdw dv du43V(a) a p35再引入球坐标 2p3p15 8222 4 3V(a) := 27a 0 r sin(f) cos(f) 00sin(q ) cos(q )dr df dqV(a) a p35(5) 计算由曲面y3=2x+4和平面x+z=1,z=0所围成的立体体积.yh(x) := 3 (2x + 4)f(x,y) := 1 - xg(x,y) := 2x - 3 +