第二章量子力学初步介绍-2.ppt

2 1 2实物粒子的波动性 本讲主要内容 一 德布罗意假设 二 物质波的实验验证 三 波粒二象性 光 波 具有粒子性 实物粒子具有波动性吗 光 波 具有粒子性 实物粒子具有波动性吗 L V deBroglie 法 1892 1986 从自然界的对称性出发 德布罗意认为 既然光 波 具有粒子性 那么实物粒子也应具有波动性 1924 11 29 德布罗意把题为 量子理论的研究 的博士论文提交巴黎大学 一 德布罗意假设 与粒子相联系的波称为物质波 或德布罗意波 一个能量为E 动量为P的实物粒子同时具有波动性 且 德布罗意波长 他在论文中指出 爱因斯坦 德布罗意关系式 他还用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件 朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦 爱因斯坦说 揭开了自然界巨大帷幕的一角 瞧瞧吧 看来疯狂 可真是站得住脚呢 对于氢原子圆轨道稳定条件 德布罗意用电子的轨道驻波来解释 正是玻尔的电子轨道角动量量子化条件 V 100伏 1 225 经爱因斯坦的推荐 物质波理论受到了关注 答辩会上 佩林问 这种波怎样用实验来证实呢 德布洛意 用电子在晶体上的衍射实验可以做到 算算电子的波长 设电子动能由V伏电压加速产生 X射线波段 子弹 宏观物体只表现出粒子性 波动光学 几何光学 d h 0 量子物理 经典物理 m 0 01kg v 300m s 1 225 电子的波长 微尘 m 10 13kg v 0 01m s m 9 1 10 31kg 电子通过金薄膜的衍射实验 戴维逊 Davisson 革末 Germer 实验 1927 电子在镍单晶上的衍射实验 汤姆逊 G P Thomson 实验 1927 二 物质波的实验验证 约恩逊 Jonsson 实验 1961 1895年 伦琴 德 X射线管 X射线是 约0 1nm数量级的电磁波 1912年 劳厄 德 实验 O 劳厄斑 回忆 X射线的衍射 1 X射线 戴维逊 Davisson 革末 Germer 实验 1927 2 布拉格公式 1913年 布拉格 英 父子实验 晶面间距d 掠射角 上下相邻原子层反射线的光程差 AB BC 2dsin 干涉加强的条件为 2dsin k k 1 2 3 此式称为布拉格公式 C O B A 3 戴维逊 革末实验 1927年 戴维逊 革末实验 用电子束垂直投射到镍单晶 0 215nm 电子束被散射 当加速电压U 54伏 沿50度出射方向可检测到很强的电子电流 当加速电压U 54伏 加速电子的能量eV mv2 2 电子的德布罗意波长 再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数求得满足相干条件的角度 理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引 在晶体中的波长比在真空中稍小 动量稍大 经修正后 理论值与实验结果完全符合 电子不仅在反射时有衍射现象 汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象 电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性 戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金 德布罗意获1929年诺贝尔物理奖 晶体 电子束 汤姆逊 G P Thomson 实验 1927 例 设电子的总能量E可写成动能Ek和静能m0c2之和 试推出计算物质波波长的公式 以及当电子速度比光速小得多时的近似式 解 当电子速度比光速小得多时 电子的单缝 双缝 三缝和四缝衍射实验 约恩逊 Jonsson 实验 1961 质子 中子 原子 分子 也有波动性 约恩逊 Jonsson 直接做了电子双缝实验 在铜膜上刻出相距d 1 m 宽b 0 3 m的双缝 单缝双缝三缝四缝 电子双缝衍射实验 7个电子 100个电子 底片上出现一个个的点子 电子具有粒子性 来源于 一个电子 所具有的波动性 而不是电子间相互作用的结果 随着电子增多 逐渐形成衍射图样 3000 20000 70000 20000 电子一个一个发射 重复实验 结果衍射花纹不变 单个电子也具有 波动性 单个电子入射每次集中于一点 出现在屏上 电子在屏上的落点是随机分布的 多次积累以后出现衍射花纹 外界条件一定 重复实验 结果衍射花纹不变 电子是一个完整的颗粒 不可分割 在测量前具有不确定性 但是有一定的统计性 电子在空间的统计分布是一定的 而不是电子间相互作用的结果 双缝齐开与先后开一缝 所得衍射条纹不一样 经典粒子 P P1 P2量子客体 P P1 P2 光究竟是 波 还是 粒子 电子究竟是 粒子 还是 波 历史上有两个观点 1 把波当成是电子的内部结构 把电子看成一个波包 媒质中波包会发散 而电子是完整的 2 是大量的粒子相互作用使得产生疏密波 与实验矛盾 错误 三 波粒二象性 波动性 可叠加性 干涉 衍射 偏振 具有频率和波矢 没有实在的物理量在周期性变化 粒子性 整体性 有确定轨道 随机性 抛弃轨道概念 同 具有能量 动量 同 有一个的物理量在周期性变化 量子客体即不是经典的粒子 它没有确定的 轨道 概念 也不是经典的波 没有实在的物理量在周期性变化 微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 而两种性质虽寓于同一体中 却不能同时表现出来 德布罗意波不代表一个实在的物理量的波动 那么它是什么波 他的本质是什么 少女 老妇 两种图象不会同时出现在你的视觉中 2 2物质波的统计解释和海森伯不确定原理 2 2 1波函数的统计解释 用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一 波动观点 光波的衍射 亮处波的强度大 暗处强度小 振幅的平方大 光子观点 光子到达亮处的概率远大于光子到达暗处的概率 粒子在某处出现的概率与此处波的强度成正比 光的强度大 单位时间内到达的光子数多 一 波恩的统计诠释 物质波是什么波 电子双缝衍射实验说明单个粒子就有波性 玻恩 M Born 假定 德布罗意波并不像经典波那样代表实在的物理量的波动 而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波 玻恩的统计解释 在某一时刻 空间某一地点 粒子出现的概率正比于该时刻 该地点波函数的平方 右图是计算机根据波函数计算并绘制的原子内部图象 其中原子核被放大了 经典的 轨道 已无意义 物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的 概率振幅 t时刻在处附近dV内发现粒子的概率为 这是玻恩1926年给出的 的统计解释 注意 有物理意义的是 而不是 代表t时刻 在处单位体积内找到粒子的几率 称为概率密度 其模的平方 不同于经典波的波函数 波函数须满足的数学条件 自然条件 单值 有限和连续 归一化条件 解 设归一化因子为C 则归一化的波函数为 x Cexp 2x2 2 计算积分得 取 0 则归一化的波函数为 x exp 2x2 2 例 将波函数归一化 例 设粒子在一维空间运动 其状态可用波函数描述为 其中A为任意常数 求 1 归一化的波函数 2 概率密度3 何处几率最大 即 解 由归一化条件 归一化的波函数 2 概率密度 3 何处几率最大 几率最大 例 设粒子在一维空间运动 其状态可用波函数描述为 其中A为任意常数 E和b均为确定的常数 求 归一化的波函数 概率密度 即 解 由归一化条件 由此可求出归一化的波函数 概率密度为 如图所示 在区间 b 2 b 2 以外找不到粒子 在x 0处找到粒子的概率最大 二 自由粒子的波函数 自由粒子 对沿 x传播的单色平面波 有 Re复数形式 类比 自由粒子沿 x方向的运动 波函数可写成 式中 自由粒子在三维空间中运动的波函数 空间波函数 通常写成 自由粒子 即严格限制了粒子的动量 位置完全不确定了 各处概率相等 附录 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 只开上缝P1 只开下缝P2 双缝齐开P12 P1 P2 1 子弹穿过双缝 2 声波 只开上缝声强I1 只开下缝声强I2 双缝齐开 通过上缝的声波用描述 通过下缝的声波用描述 双缝齐开时的声波为 声强为 干涉项 3 电子穿过双缝 电子的状态用波函数 描述 即在屏上找到电子的几率是波函数的模方 通过双缝后 分布是d 不是c 只开上缝时 电子有一定的概率通过上缝 其状态用描述 只开下缝时 电子有一定的概率通过下缝 电子的概率分布为 其状态用描述 电子的概率分布为 双缝齐开时 电子可通过上缝也可通过下缝通过上 下缝各有一定的概率 都有 总的概率幅为 电子可通过双缝的总概率为 可见 干涉是概率波的干涉 是由于概率幅的线性叠加产生的 即使只有一个电子 当双缝齐开时 两部分概率幅的叠加就会产生干涉 微观粒子的波动性 实质上就是概率幅的相干叠加性 它的状态就要用来描述 出现了干涉 概率幅叠加这样一个奇特的规律 被费曼 R P Feyman 在他的 物理学讲义 中称为量子力学的第一原理 在他的讲义中写到 如果一件事件可能以几种方式实现 则该事件的概率幅就是各种方式单独实现时的概率幅之和 于是就出现了干涉 在物理学中引入概率概念在哲学上有重要的意义 它意味着 在已知的条件下不可能精确预知结果 只能预言某些可能结果的概率 若体系具有一系列互异的可能状态 则它们的线性组合 的一个可能的状态 Cn 2为该体系处于 n状态的概率 若叠加中各状态间的差异无穷小 这里Cn为任意复常数 积分代替求和 也是该体系 则应该用 三 态叠加原理 仍用电子双缝衍射说明态的叠加原理 当双缝同时打开时 单缝1使通过它的电子处于 1态 单缝2使其处于 2态 电子处于 1态 2态的概率分别为 第三项称为相干项 双缝同时打开时 电子的概率分布为 量子力学中态的叠加原理与测量密切联系在一起是量子力学的一个基本原理 它与经典波的叠加概念的物理含义有本质的不同 它源于微观粒子二象性 与粒子相联系的波称为物质波 一个能量为E 动量为P的实物粒子同时具有波动性 且 小结 德布罗意假设 量子客体即不是经典的粒子 它没有确定的 轨道 概念 也不是经典的波 没有实在的物理量在波动 物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的 概率振幅 玻恩的统计解释 自由粒子的波函数 自由粒子 即严格限制了粒子的动量 t时刻在处附近dV内发现粒子的概率为 2 2 2不确定关系 uncertaintyrelation 经典粒子运动轨道的概念在多大程度上适用于微观世界 海森伯 Heisenberg 于1927年根据对一些理想实验的分析和德布洛意关系得出 不确定关系 粒子在同一方向的坐标和动量不能同时确定 WernerKarlHeisenberg德国人1901 1976创立量子力学 获得1932年诺贝尔物理学奖 海森伯 电子在x方向上的不确定范围为 一束动量为p的电子通过狭缝 电子动量x分量px的不确定范围为 得到不确定关系 把其余明纹考虑在内 有 x 认为电子集中在该区域 一 不确定关系的粗略推导 注意x的方向 严格的理论给出不确定关系 一般写为 不确定关系使微观粒子运动 轨道 的概念失去意义 不确定度关系的物理意义 当粒子位置的不确定度 x小时 动量的不确定度 p就大 反之亦然 即微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量 不确定关系是微观粒子固有属性 波粒二象性决定的 与仪器精度和测量方法的缺陷无关 自由粒子 即严格限制了粒子的动量 位置就完全不确定了 各处概率相等 特别是当 对于理想的单色平面波 不确定关系不仅存在于位置 动量之间 时间与能量的不确定度关系 角位置与角动量的不确定度关系 存在不确定关系的一对物理量称为共轭物理量 能量和时间也是一对共轭物理量 有 推导如下 二 能量与时间的不确定关系 能级的自然宽度和寿命 设体系处于某能量状态的寿命为 则该状态能量的不确定程度 E 能级自然宽度 为 假定原子中某一激发态的寿命 10 8s 理论上计算平均寿命 估计能级宽度实验上测量能级宽度 估计不稳态的寿命 则其能级宽度为 可以解释谱线的自然宽度 能量与时间的不确定关系能解释谱线的自然宽度 例对于宏观粒子 m 10 10kg的微小尘埃 测定它的位置不难准确到 由 远远小于测量速度的误差 完全可以忽略 对于宏观粒子 不确定关系没有限制作用 三 不确定关系的应用 例试求原子中电子速度的不确定量 取原子的线度为10 10m 解 由玻尔的氢原子理论 对于微观粒子不确定关系的限制显著 不能用经典力学量描述原子内电子的运动 轨道 已失去意义 设 加速电压U 102V 电子获得动能Ek eU 100eV 此能量远小于电子的静止能0 51MeV 是非相对论情形 例在示波管中电子的运动 电子的横向弥散可以忽略 轨道有意义 所以有 由此得 数量级估算 威尔孙云室 可看到一条白亮的带状的痕迹 粒子的径迹 观察到的 轨道 仍有意义 例试估算氢原子可能具有的最低能量 电子被束缚在半径为r的球内 所以 按不确定关系 若不计核的运动 氢原子的能量就是电子的能量 代入上式得 基态能应满足 基态能应满足 由此得出基态氢原子半径 基态氢原子的能量 与波尔理论结果一致 本例还说明 量子体系有所谓的零点能 因为若束缚态动能为零 即速度的不确定范围为零 则粒子在空间范围趋于无穷大 即不被束缚 这与事实不符 小结 不确定关系是微观粒子固有属性决定的 与仪器精度和测量方法的缺陷无关 不确定关系 存在不确定关系的一对物理量称为共轭物理量 量子客体 波粒二象性 态的描述 波函数 不确定关系 寻找一个新的动力学方程 薛定鄂方程 物理量 用算符表示 其平均值代表可观察量 薛定鄂方程的应用 引出下讲内容 2 3薛定谔方程 Schrodingerequation 一 薛定谔方程 1926年 薛定谔介绍德布罗意波后 德拜 有了波就应该有一个波动方程 几周后薛定谔找到 提出 了波函数满足的微分方程 薛定谔方程从而建立了描述微观粒子运动规律的学科 量子力学 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程 同牛顿定律一样是不能由其它基本原理推导出来的 它最初只是一个假定 后通过实验检验了它的正确性 薛定谔ErwinSchrodinger奥地利人1887 1961创立量子力学 1933年获诺贝尔物理学奖 我们已经知道的自由粒子波函数的数学式 一般的粒子应该满足什么样的动力学方程 薛定谔建立方程的思路 它满足什么样的动力学方程 自由粒子薛定谔方程的建立 势场中的薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对时间微分 得到方程 自由粒子薛定谔方程的建立 对空间微分二次 得到方程 自由粒子非相对论情况下 自由粒子波函数满足的微分方程 若粒子在势场中 势能函数为U x t 则 一维势场中的薛定谔方程 势场中的薛定谔方程 三维 引入拉普拉斯算符 则有 薛定谔方程 它是非相对论量子力学的基本方程 薛定谔方程 关于薛定谔方程的讨论 1 如果已知粒子质量m及势函数U的具体形式 则可写出具体的薛定谔方程 它是一个二阶偏微分方程 若给定初始条件和边界条件即可求解 3 薛定谔方程的局限 非相对论 没有自旋 Dirac 相对论方程 2 薛定谔方程是 建立 不是导出 薛定谔方程是量子力学的一个 基本假定 是否正确 由实验检验 则薛定谔方程可分离变量 则 若与t无关 设 双方同除 常数 定态薛定谔方程 全部是时间函数 全部是空间函数 解为 振动因子 称为定态薛定谔方程 式中常数E具有能量量纲 C可以是复数 与自由粒子波函数形式类比 定态波函数 是实际情况的极端化和简化 粒子在势阱内受力为零 势能为零 在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外 二 一维无限深势阱 讨论课 根据具体问题列出定态薛定谔方程 用薛定谔方程处理问题 根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解 求出薛定谔方程的通解 即波函数 根据波函数应满足的归一化条件写出定态波函数 对量子力学处理的结果进行分析 1 一维无限深方形势阱中的粒子若是一个经典的粒子将如何运动 2 波函数求解步骤 3 波函数是如何描述粒子的状态的 4 量子化是如何得到的 5 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的 6 比较经典结果与量子结果 自学一维无限深方形势阱内容 并讨论以下问题 势函数 定态薛定谔方程 令 得 阱内 阱外 分区求通解 A和B是待定常数 由波函数自然条件定特解 B 0 阱外 阱内 由波函数连续性的要求 阱内的波函数在阱壁上的值也必为零 B 0 能量本征值 能级 结果说明粒子被束缚在势阱中 能量只能取一系列分立值 即它的能量是量子化的 能量量子化并不是强行假设 而是方程求解的自然结果 能量取分立值 能级 能量量子化 最低能量 零点能 回忆不确定关系 量子体系有所谓的零点能 因为若束缚态动能为零 即速度的不确定范围为零 则粒子在空间范围趋于无穷大 即不被束缚 这与事实不符 由归一化条件 根据波函数应满足的归一化条件写出定态波函数 概率密度 考虑到振动因子 驻波解 概率密度 它所描写的粒子的状态称作粒子的能量本征态 energyeigenstate 称为能量本征波函数 重新理解能量量子化 由波函数连续性的要求 阱内的波函数在阱壁上的值也必为零 允许的波长为 粒子的动量 能量 粒子被限制在势阱内 粒子在阱外的概率为零 n 1 2 3 量子数 能量是量子化的 能级 存在最低能量 零点能 这是不确定关系要求的 是量子客体具有波粒二象性这种固有属性所决定的 一维无限深势阱结论总结 一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 定态波函数是驻波形式 边界处是波节 量子 经典 玻尔对应原理 a 2 讨论以下问题 1 一维无限深方形势阱中的粒子若是一个经典的粒子将如何运动 2 波函数求解步骤 3 波函数是如何描述粒子的状态的 4 量子化是如何得到的 5 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的 6 比较经典结果与量子结果 比较经典结果与量子结果 经典结果 量子结果 粒子的速度 能量是任意的 能量是量子化的 粒子在阱内匀速运动 或静止 粒子能量不为零 粒子无法静止 粒子在各处概率相等 粒子出现的概率为 粒子在x1 x2之间的概率为 粒子在x1 x2之间的概率为 例 质量为m的微观粒子处在长度为L的一维无限深势阱中 试求 解 1 1 粒子在0 x L 4区间内出现的概率 并对n 1和n 的情况进行讨论 2 在哪些量子态上 L 4处的概率密度取极大 概率密度 定态波函数 粒子在0 x L 4区间内出现的概率 L 4 n 1 经典粒子在x1 x2之间的概率为 2 L 4处的概率密度 L 4处的概率密度最大对应于 L 4处的概率密度极大 经典 电子不能进入E U的区域 因动能 0 量子 电子可透入势垒 电子可逸出金属表面 在金属表面形成一层电子气 势函数 入射能量E U0 有限宽势垒 三 有限宽势垒和隧道效应 隧道效应 波穿过后 将以平面波的形式继续前进 1 入射能量E U0 隧道效应 经典物理 从能量守恒的角度看是不可能的 量子物理 粒子有波动性 遵从不确定原理 粒子经过II区和能量守恒并不矛盾 只要势垒区宽度 x a不是无限大 粒子能量就有不确定量 E x a很小时 P和 E很大 怎样理解粒子通过势垒区 扫描隧道显微镜 STM ScanningTunnelingMicroscopy STM是一项技术上的重大发明 用于观察表面的微观结构 不接触 不破坏样品 原理 利用量子力学的隧道效应 1986 Nob 鲁斯卡 E Ruska 1932发明电子显微镜 隧道效应的应用 隧道电流 反馈传感器 参考信号 显示器 压电控制 加电压 扫描隧道显微镜示意图 A 常量 样品表面平均势垒高度 eV d变化一个原子的距离 i变化一千倍 反映表面情况 1 消震 多级弹簧 底部铜盘涡流阻尼 2 探针尖加工 电化学腐蚀 强电场去污 针尖只有1 2个原子 3 驱动和到位 利用压电效应的逆效应 电致伸缩 一步一步扫描 技术关键 某种型号的扫描隧道显微镜 神经细胞的STM扫描图 硅表面的STM扫描图 1991年 恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子拼成了字母IBM 每个字母长5纳米 量子围栏 扫描隧道显微术的又一杰作 48个Fe原子形成 量子围栏 围栏中的电子形成驻波 四 量子力学小结 1 量子体系的状态由波函数完全描述 波函数的模方代表粒子在t时刻r处的概率密度 2 系统的状态波函数随时间的演化服从薛定谔波动方程 量子力学的基本假设 3 力学量用算符表示 1 力学量算符通过对相应经典力学量算符化得到 算符化规则 任一力学量 经典 量子 2 力学量算符的本征值就是该力学量可能具有的数值 测量值