欠扩散捕食-食饵模型的解析解的正性和有界性的拓展

欠扩散捕食-食饵模型的解析解的正性和有界性的拓展定理 3.1考虑下述分数阶导数的方程, （3.1）其中是具有利普希茨连续边界的有界域，=（0,1），定理2.1对于此方程仍然成立。证明：事实上，如果f（x，t)0,且u（x，t）的非负最大值不在上取得，则存在一个点（x，t）使得u（x，t） ，u（x，t）。构造辅助函数一方面，我们知道在（x，t）处 当b取充分小时便可得在（x，t）处 （3.2） 另一方面，在（x，t）处我们有令则上式可化为其中，所以上式故。上式中。在（x，t）处又因为（x，t）是在定义域内部的最大值且所以。在（x，t）处当足够小时v（x，t）0.在（x，t）处成立这与（3.2）式矛盾。备注 3.2如果（3.1）式的初始条件为u（x，0）=0，边界条件为齐次狄利克雷边界条件或齐次狄利克雷条件，则由定理3.1,我们可知当f（x，t）0时u（x，t）0，当f（x，t）0时u（x，t）0。证明方法和备注2.2一样。定义2.3的拓展 定义3.3 对于下述方程组 (3.3)假如满足并且分别是拟单调递减和拟单调递增的函数 （3.4）则U（x，t)=和V（x，t）=分别称为原方程组的上下解。定理3.4的拓展定理3.4 设是混合的拟单调的函数并且满足局部利普希茨连续，即，其中L为常数，为一给定常数。如果上下解U(x，t）和V（x，t）满足V（x，t）U(x，t），则方程组（3.3)有唯一的解在V（x，t）U(x，t）之间证明：初始迭代条件设为 （3.5）其中。定义如下迭代公式 （3.6）L为的利普希茨常数中的最大值令（3.6）式中k=1，再与（3.4）式综合可得由定理3.1和备注3.2可知现在我们用递归法证明假设并设为拟单调递减函数则(3.7)同理可得 （3.8） （3.9） （3.10）将（3.6）式中k分别取k和k+1，将对应的等式相减再结合（3.7）-（3.10）式可得则根据定理（3.1）和备注3.2可得，i=1,2，k=0,1重新考虑（3.6）式可得 （3.11）再根据定理（3.1）和备注3.2可得则有由于分别为拟单调递减和拟单调递增函数和单调递减有界收敛定理可设且满足令（3.6）式中k趋于无穷可得 （3.12）下面，我们将证明定义，从上面的结论中我们知道根据(3.12)式我们可得定义，将上述两个不等式左右相加可得 （3.13）下面我们将证明在上恒等于0。如果的最大值在边界上取得，如果所给的边界条件为狄利克雷边界条件，则显然有在上。如果给出的为诺依曼边界条件，则可按照备注3.2的方法证出在上。又由在上可得。如果最大值在的定义域上取得，设为，且，则存在x*x使得对于任意的xx*，引入方程u（x）在区间x*，1上u（x）=0定义则显然的最大值仍在（x，t)处取得，则有在（x，t）处-由于，则当时有，矛盾，所以恒等于0.当时，我们取则可得在0，r上恒等于0。在r,1上，我们令X=x-r，W（X，t）=，则W（X）在0,1-r上仍满足(3.13)式，用上述的方法仍可得出在r,1上仍恒为0，这个步骤可进行任意多的有限次，所以在有界区间上恒为0.又因为则可知。下证解的唯一性，假设在V,U间还有另一个解，则显然有。显然满足上下界定义中的所有条件，所以既可以被认为是一个上解也可以被认为是一个下解。一方面，所以。另一方面。综上可得。分数阶导数捕食-食饵模型解的正性和有界性 初始条件 ，其中边界条件或者则（0,0)和（1，）仍是上述方程组的下解和上解，验证方法和分数阶时间导数的捕食-食饵模型完全相同。所以由定理3.4可得上述方程组的解析解具有正性和有界性。第四章 总结 我们分别介绍了狄利克雷边界条件和诺依曼边界条件下的欠扩散反应扩散方程的无