借对称求最短距离.ppt

万变不离其宗 借轴对称求最短距离 最短距离问题考查知识点 两点之间线段最短 点关于轴对称 生活中的原型 建奶站问题 牧马人饮马问题 等 出题背景变式 有角 三角形 菱形 正方形 圆 坐标轴 双曲线 抛物线等 解题总思路 不变的 宗 找点关于轴的对称点 实现 折 转 直 在北师版七年级数学 下 的第123页上 如图 要在街道旁修建一个奶站 分别向居民区A B提供牛奶 奶站应建在什么地方 才能使A B到它的距离之和最短 数学模型1 数学问题1已知 直线L和L的同侧两点A B求作 点C 使C在直线L上 并且AC CB最小 BC AC BC AC 即AC BC最小 L B A C A C 直线L是点A A 的对称轴 点C C 在对称轴上 AC A C AC A C 在 BA C 中 BA BC A C BC AC A C BC A B AC BC A C BC 做法 作点A关于直线L的对称点A 连接A B与直线L相交于点C 连接AC 则AC BC最短 则点C就是奶站的位置 依据 以此题为 宗 的题目可以说层出不穷 如 1 在正方形中探求线段和的最小值例1 如图 正方形ABCD的边长为8 M在DC上 且DM 2 N是AC上的一动点 DN MN的最小值为 N 连接BM交AC于N 连接DN 可得BN DN 因此DN MN BN MN BM 变式1 如图所示 正方形ABCD的面积为36 ABE是等边三角形 点E在正方形ABCD内 在对角线AC上有一点P 使PD PE的和最小 则这个最小值为 面积为36 所以AB BE 6 变式2 如图 在 ABC中 AC BC 2 ACB 90 D是BC边的中点 E是AB边上一动点 则EC ED的最小值为 2 在圆背景下探求线段和的最小值例2 如图 AB是 O的直径 AB 2 OC是 O的半径 OC AB 点D在AC上 弧AD 2弧CD 点P是半径OC上一个动点 那么AP PD的最小值是 变式 已知 O的直径CD为4 AOD的度数为60 点B是弧AD的中点 在直径CD上找一点P 使BP AP的值最小 并求BP AP的最小值 2 在圆背景下探求线段和的最小值 3 在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例3 在平面直角坐标系中 有A 3 2 B 4 2 两点 现另取一点C 1 n 当n 时 AC BC的值最小 3 在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 变式1 一次函数y 2x 4的图象与x y轴分别交于点A 2 0 B 0 4 O为坐标原点 设OA AB的中点分别为C D P为OB上一动点 求PC PD的最小值 并求取得最小值时P点坐标 令X 0得 Y 1 所以P点 0 1 变式2 已知抛物线与x轴交于A B两点 与Y轴交于点C 且对称轴为直线X 1 其中A点 3 0 C点 0 2 1 求这条抛物线的函数表达式 2 已知在对称轴上存在一点P 使得 PBC的周长最小 请求出点P的坐标 2 已知在对称轴上存在一点P 使得 PBC的周长最小 请求出点P的坐标 4 在角的背景下探求线段和的最小值 例4 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 变式 如图 点P在 AOB内部 且 AOB 45 OP 2cm 在射线OA OB上找点C D 使PC CD DP之和最小 思考 你能求得出PC CD DP之和最小为多少吗 数学模型2如图 C处为马棚 D处为帐篷 牧马人某一天要从马棚牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定所走的最短路线 数学问题2如图 C D在 AOB的内部 在OA OB上分别找点G H 使得CG GH DH最短作法 1 作点C关于直线OA的对称点点F 2 作点D关于直线OB的对称点点E 3 连接EF分别交直线OA OB于点G H 则CG GH DH最短 F A O B D C E G H 例题 在直线m n上分别求点M N 使得四边形PQMN的周长最小 变式1 如图点A a 1 B 1 b 都在双曲线 x 0 上 点P Q分别是x轴 y轴上的动点 当四边形PABQ的周长取最小值时 PQ在直线的解析式是 A y xB y x 1C y x 2D y x 3 变式2 2016贵阳 25 如图 直线y 5x 5交x轴于点A 交y轴于点C 过A C两点的二次函数y ax2 4x c的图象交x轴于另一点B 1 求二次函数的表达式 2 若点H为二次函数y ax2 4x c图象的顶点 点M 4 m 是该二次函数图象上一点 在x轴 y轴上分别找点F E 使四边形HEFM的周长最小 求出点F E的坐标 我的收获 课堂小结 1 构建 对称模型 实现折转直 2 关键 作对称点 利用轴对称的性质将线段转化 从而利用 两点之间 线段最短 来解决 测试题 在平面直角坐标系中 矩形OACB的顶点O在坐标原点 顶点A B分别在x轴 y轴的正半轴上 OA 3 OB 4 D为边OB的中点 1 若E为边OA