2005年河北省初中数学创新与知识应用竞赛预赛.pdf

图9 因为2 q 1 p 是整数 且p 1 q 1 则 2q 1 p 1 即2q 1 p 又2p 1 q 4q 3 q 是整数 即4 3 q 是整数 所以 q 1或q 3 又q 1 则q 3 同时p 2q 1 5 故 p q 8 14 如图9 过点D 作DE AC 垂足为点 E 在Rt AED中 AD2 AE2 ED2 在Rt CED中 CD2 CE2 ED2 于是 有 AD2 CD2 AE2 CE2 AE CE AE CE 故AD2 CD2 AC AE CE 过点D作DF BC 交BC的延长线于点F 联 结BD 在Rt AED和Rt BFD中 有 EAD FBD 又点D为ACB的中点 则AD BD 所以 Rt AED Rt BFD 于是 有 AE BF 因为 DCF是圆内接四边形的外角 所以 DCF BAD 已知点D为ACB的中点 有 ACD ABD BAD 又CD为公共边 则 Rt CED Rt CFD 于是 CE CF 综合式 得 AD2 CD2 AC AE CE AC BF CF 而BC BF CF 故 AD2 AC BC CD2 李果民 提供 2005年河北省初中数学创新 与知识应用竞赛预赛 一 选择题 每小题5分 共30分 1 已知实数a b c满足a 2 2b 7 b 2 2c 1 c 2 6a 17 则a b c的 值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 图1 2 如 图1 在 ABC中 AC BC ACB 90 AD平 分 BAC BE AD 交AC的延长线于点 F 且垂足为E 则结 论 AD BF CF CD AC CD AB BE CF BF 2BE 其中正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 3 五个互不相等自然数的平均数是15 中位数是18 则这五个数中最大数的最大值 为 A 35 B 36 C 37 D 38 图2 4 如图2 已知圆锥的 母线长OA 6 底面圆的 半径为2 一小虫在圆锥底 面的点A处绕圆锥侧面一 周又回到点A处 则小虫 所 走 的 最 短 距 离 为 A 12 B 4 C 6 2 D 6 3 5 在小于1 000的正整数中 能被5整除 332005年第9期 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 或能被7整除 但是不能被35整除的数的个 数为 A 285 B 313 C 341 D 369 6 已知某商品涨价x成 1 成即10 后 销量将减少 5 6 x成 若要获得最大的营业 额 则需涨价 成 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题 每小题5分 共30分 7 一天 一群猴子去摘桃子 在分摘得的 桃子时发现 如果每只猴子分4个 那么 还 剩52个 如果每只猴子分6个 那么 有一只 猴子分到的桃子不够6个 则这群猴子所摘 桃子的总数是个 8 一个等腰三角形的一条高等于腰长的 一半 则这个等腰三角形的底角的度数是 9 如图3 矩形内放置八个半径为1的 圆 其中相邻两圆都相切 并且左上角和右下 角的两圆与矩形的两边都相切 其他的圆与 矩形的一边相切 则该矩形的面积为 图3图4 10 如图4 对于一个有四个侧面的长方 体型的建筑物 当一个人站在一个适当的位 置时 就可以看到这个建筑物的一个面或两 个面 其中区域 中的任一位置可以看到这 个建筑物的一个面 区域 中的任一位置可 以看到这个建筑物的两个面 对于一个有六 个侧面 平面图为正六边形的建筑物 当一个 人站在一个适当的位置时 最多可以看到这 个建筑物的个面 11 一个盒子里装有红 黄 白三种颜色 的球 若白球至多是黄球的 1 2 且至少是红球 的 1 3 黄球与白球合起来不多于55个 则盒 子中至多有红球个 图5 12 如图5 O 是正 ABC的边 AC的中点 也是 正 A1B1C1的边 A1C1的中点 则 AA1 BB1 三 解答题 每小题20分 共60分 13 某次有10支球队参加的足球比赛 实行主客场双循环赛制 即任何两队分别在 主场和客场各比赛一场 胜一场得3分 平一 场得1分 负一场得0分 1 试问这次比赛共进行了多少场 2 若每场比赛都取得最高分 则这次比 赛各队积分之和是多少 若每场比赛都取得 最低分 则这次比赛各队积分之和是多少 3 若比赛结束后按积分的高低排出名 次 在积分榜上位次相邻的两支球队积分差 距最多可达几分 14 有一种产品的质量可分成6种不同 的档次 若工时不变 每天可生产最低档次的 产品40件 如果每提高一个档次 每件利润 可增加1元 但每天要少生产2件产品 1 若最低档次的产品每件利润16元 时 生产哪一种档次的产品的利润最大 2 若最低档次的产品每件利润22元 时 生产哪一种档次的产品的利润最大 3 由于市场价格浮动 生产最低档次的 产品每件利润可以从8元到24元不等 那 么 生产哪种档次的产品所得利润最大 15 如图6 在Rt ABC中 C 90 AC 4 BC 3 其中 O1 O2 On为 n n 2 个相等的圆 O1与 O2相外切 O2与 O3相外切 On 1与 On 相外切 O1 O2 On都与AB相切 且 O1与AC相切 On与BC相切 求这 些等圆的半径r 用n表示 43中 等 数 学 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 图6 参 考 答 案 一 1 B 三式相加并配方得 a 3 2 b 1 2 c 1 2 0 2 D 由 ACD BCF AD平分 BAC及AD BE 得 正确 3 C 设这五个数中其余的四个数分别为a b c d 且a b 18 c0 b 0 则当x 1 60 2 1 120 1时 营业额最大 二 7 160或164 设有x只猴子 则它们摘的桃子是4x 52个 由题意有0 4x 52 6 x 1 6 解得x 27或28 所以 4x 52 160或164 8 75 或30 或15 有三种情况 如图8 图8 9 18 9 3 如图9 联结两两相邻三个圆的圆心 由圆的性 质可知 O1O2O3是边长为2的等边三角形 可求 得三角形的高为3 利用圆和圆以及直线和圆相 切 可求出矩形相邻两边的长分别为9 2 3 所以 矩形的面积为18 9 3 图9图10 10 三 如图10 其中区域 中的任一位置可以看到这 个建筑物的一个面 区域 中的任一位置可以看到 这个建筑物的两个面 区域 中的任一位置可以看 到这个建筑物的三个面 11 54 设有白球x个 黄球y个 红球z个 依题意列 方程组得 x 1 2 y x 1 3 z y x 55 由式 得y 2x 由式 得3x 55 即x 55 3 则整数x 18 532005年第9期 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 由式 得z 3x 即z 54 故盒中至多有54个红球 12 1 3 图11 如图11 分别联结 OB OB1 则OB OB1分 别为 ABC的边AC和 A1B1C1的 边A1C1 上的高 所以 OA OB 1 3 OA1 OB1 1 3 又 AOA1 90 A1OB BOB1 90 A1OB 所以 AOA1 BOB1 故 AA1 BB1 OA OB 1 3 三 13 1 采用列表或用公式计算可知 这次比 赛共进行了90场 2 一场比赛的最高分为3分 若每场比赛都取 得最高分 则这次比赛各队积分之和是3 90 270 分 一场比赛的最低分为2分 若每场比赛都取得 最低分 则这次比赛各队积分之和是2 90 180 分 3 设第k名与第k 1名球队的积分差最大 由于每两队比赛一场得分之和最多为3分 最少为2 分 所以 前k名的球队彼此比赛 得分最多为 3 2 k k 1 2 3k k 1 分 前k名的球队与后面的10 k支球队比赛得分 最多为 3 2 k 10 k 6 k 10 k 分 因此 前k名的球队得分总和最多为3k 19 k 分 于是 第k名的球队得分最多为3 19 k 分 对于后10 k名的球队 他们互相比赛得分之 和最少为 2 2 10 k 9 k 2 2 10 k 9 k 分 与前k名的球队比赛得分和为0 因此 第k 1名球队得分最少为 2 10 k 9 k 10 k 2 9 k 分 故当k 1时 积分差达到最大值 两队相差分 值3 19 k 2 9 k 38分 14 1 设生产第x档产品时 所获利润最大 显 然1 x 6 且x为自然数 设每天所获利润为y 元 则 y 40 2 x 1 16 x 1 2x2 12x 630 2 x 3 2 648 故当x 3时 y最大 因此 生产第三档次的产品获利最大 2 与 1 类似得 y 40 2 x 1 22 x 1 2x2 882 而1 x 6 且x为自然数 故当x 1时 y最大 因此 生产第一档次的产品获利最大 3 设生产最低档次的产品每件利润为a元 且 8 a 24 则 y 40 2 x 1 a x 1 42 2x a 1 x 2x 22 a 2 2 a2 40a 400 2 通过分析 讨论 可得如下结论 x 6 22 a 2 1 精确到个位的值 8 a 10 10 a 20 20 a 24 15 如图12 联结AO1并延长交BC于点D 联 结BOn并延长分别交AD AC于点O E 过点O1 On 分别作AB的垂线 F G分别是垂足 图12 因 O1 On是与AB相切的等圆 且O1F AB OnG AB 所以 O1F OnG r 又 O1与AB AC都相切 则有 O1AF DAC 故AC AB CD DB 因AC 4 BC 3 则AB 5 故CD 4 3