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4 11拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 主要内容重点 从函数拉氏变换求傅氏变换难点 判断函数傅氏变换的存在 引言从函数拉氏变换求傅氏变换 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系 一 引言 傅氏变换与拉氏变换的区别和联系 1 2 衰减函数 傅氏变换是存在 3 例如 若收敛坐标 0 0 F s 的收敛域为Re s 0 F s 的收敛域不包含j 轴 故F s 在j 轴上不收敛 若令s j 则F s 不等于F j 和虚轴上都有极点 并且虚轴上的极点为m个一阶极点j i i 1 2 m 将F s 展开为部分分式 表示为 式中 Fa s 表示左半平面极点对应的分式 令Fa s 的原函数为fa t 则F s 的原函数为 的傅里叶变换为 由于是的原函数 并且的极点在左半面 故 其中 根据傅里叶变换的线性性质和频移性质 并且由于 t 的傅里叶变换为 因此得 例 已知f t e 2tcost t 的单边拉氏变换为 求傅里叶变换 解F S 的收敛坐标 即 因此 另一方面 根据傅里叶变换的调制定理 由于 所以有 思考题 根据函数拉氏变换 如何判断它的傅氏变换是否存在 本章小结 例1 即单位阶跃信号的初始值为1BACK 例2 初值定理证明 由原函数微分定理可知BACK 时移特性例题BACK 例1 已知 例2 BACK已知系统的框图如下 请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程 1 在零起始状态下 对原方程两端取拉氏变换BACK 2 例题BACK 当常数k满足什么条件时 系统是稳定的 加法器输出端的信号 输出信号 如图所示反馈系统 子系统的系统函数 则反馈系统的系统函数为 为使极点均在s左半平面 必须 系统稳定性 本章小结 1 拉普拉斯变换是本课程介绍的第二个对信号的变换方法 目的是为了解决傅里叶变换在实际应用中面临的一些实际问题 它的引入是从一些增长型的信号固不满足傅里叶变换存在的条件而不能进行傅里叶的分析开始的 2 拉普拉斯变换中值得我们着重注意的是变换收敛域的概念 以及拉氏变换与傅氏变换相互之间的关系 另一方面要了解的是拉氏变换在系统分析中的应用 就变换的性质而言 大部分与傅氏变换是相似的 或本质上是相一致的 但也有不同的新特点 如初 终值定理 3 最后一个需在学习中注意的问题是 在本门课程中 我们是将拉氏变换作为又一种变换域 S域 的分析方法 而傅氏变换则是频域 W域 分析方法 可以从这个
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