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一元二次方程的实根分布问题 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 条件1 若方程有两个正根 如右图知 分析设f x x m 3 x m 条件2 若方程的两个根均小于1 如右图知 分析设f x x m 3 x m 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 条件3 若方程的一个根大于1 一个根小于1 如右图知 分析设f x x m 3 x m 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 条件4 若方程的两个根均在 0 2 内 如右图知 分析设f x x m 3 x m 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 条件5 若方程的两个根有且仅有一个在 0 2 内 如右图知 分析设f x x m 3 x m 3 1 2 由于1 2 3知m的取值范围是 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 条件6 若方程的一个根在 2 0 另一个根在 0 4 如右图知 分析设f x x m 3 x m 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 条件7 若方程的一个根小于2 另一个根大于4 如右图知 分析设f x x m 3 x m 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 条件8 若方程有一个正根 一个负根且正根的绝对值较大 如右图知 分析设f x x m 3 x m 问题已知方程x m 3 x m 0 求实数m的取值范围 一元二次方程的根 其实质就是其相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标 因此 可以借助于二次函数及其图象 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题 下面通过例题具体情况来说明 小结 两个根均小于k 两个根均大于k 一个根小于k 一个根大于k 小结 一般地 一元二次方程ax bx c 0 a 0 的实根分布 两个根均在 m n 内 X1 m n X2 p q 小结 一般地 一元二次方程ax bx c 0 a 0 的实根分布 两根均在 m n 外两旁 小结 一般地 一元二次方程ax bx c 0 a 0 的实根分布 两个根有且仅有一个在 m n 内 或 或 注意 由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件 一般考虑以下三个方面 二次函数在实根分布界点处函数值的符号 课堂练习 1 若方程7x m 13 x m m 2 0在区间 0 1 1 2 上各有一个实根 求实数m的取值范围 2 若方程2x m 2 x 2m m 0的两根在区间 0 1 之外两旁 求实数m的取值范围 4 若方程x 2mx m 1 0在区间 2 4 上有两根 求实数m的取值范围 3 关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0的二根 一个小于1 另一个
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