高考数学复习《数学归纳法》.pptx

第3课时数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 N 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 基础知识梳理 上述证明方法叫做数学归纳法 用框图表示就是 基础知识梳理 1 数学归纳法适用于证明 类型的命题 A 已知 结论B 结论 已知C 直接证明比较困难D 与正整数有关答案 D 三基能力强化 A 1B 2C 3D 0答案 C 三基能力强化 三基能力强化 答案 D 三基能力强化 答案 2k 三基能力强化 5 记凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和f k 1 f k 答案 三基能力强化 用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n k 1时命题成立 要从n k 1时待证的目标恒等式的一端 拼凑 出归纳假设的恒等式的一端 再运用归纳假设即可 同时 还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化 即用 k 1 替换恒等式中的所有 n 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 证明等式是数学归纳法的应用之一 证明时 较为困难的是第二步 首先要弄清等式两边的构成规律 然后证明当n 1时命题成立 再证如果n k时命题成立 那么n k 1时命题也成立 课堂互动讲练 课堂互动讲练 那么 k 1 2 1 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 k2 1 2 k2 22 k k2 k2 2k 1 1 2 k 课堂互动讲练 当n k 1时等式成立 由 1 2 知 对任意n N 等式成立 课堂互动讲练 误区警示 当n k 1时易错写成 k2 1 2 k2 22 k 1 k 1 2 k 1 2 整除问题是常见数学问题 除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外 有些还可用数学归纳法 应用数学归纳法证明整除性问题时 关键是 凑项 采用增项 减项 拆项和因式分解等方法 也可以说将式子 硬提公因式 即将n k时的项从n k 1时的项中 硬提出来 构成n k时的项 后面的式子相对变形 使之与n k 1时的项相同 从而达到利用假设的目的 课堂互动讲练 课堂互动讲练 已知f n 2n 7 3n 9 n N 用数学归纳法证明f n 能被36整除 思路点拨 用数学归纳法能证明整除问题 在由k过渡到k 1时常用 配凑 的办法 要有目的地去 配凑 36的倍数式子和假设n k时的式子 课堂互动讲练 证明 1 当n 1时 f 1 36 能被36整除 2 假设n k k N 时 f k 能被36整除 即f k 2k 7 3k 9能被36整除 当n k 1时 2 k 1 7 3k 1 9 2k 7 3k 1 27 27 2 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于3k 1 1是2的倍数 故18 3k 1 1 能被36整除 这就是说 当n k 1时 f n 也能被36整除 由 1 2 可知对一切正整数n都有f n 2n 7 3n 9能被36整除 课堂互动讲练 名师点评 用数学归纳法证明整除问题的关键是 配凑 采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出归纳假设和倍数式子 从而由部分的整除性得出整体的整除性 课堂互动讲练 在几何问题中 常有与n有关的几何证明 其中有交点个数 内角和 将平面分成若干部分等问题 这些问题可用数学归纳法证明 利用数学归纳法证明这些问题时 关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需 课堂互动讲练 用到几何知识或借助于几何图形来分析 在实在分析不出来的情况下 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧 课堂互动讲练 课堂互动讲练 用数学归纳法证明平面内有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 且每三个圆都不相交于同一点 则这n个圆将平面分成n2 n 2个部分 课堂互动讲练 思路点拨 本题中找到第k 1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧 而每一条弧把它所在部分分成了两块 此时共增加了2k个部分 问题就得到了解决 证明 1 当n 1时 即一个圆把平面分成2个部分 f 1 2 又n 1时 n2 n 2 2 所以命题成立 2 假设n k k 1且k N 时 命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 那么当n k 1时 记第k 1个圆为 O 由题意 O与其他k个圆相交于2k个点 这2k个点把 O分成2k条弧 而每条弧把原区域分成2部分 因此这个平面被圆分成的部分就增加了2k个 即 课堂互动讲练 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 也即n k 1时命题成立 由 1 2 可知 对任意n N 命题均成立 思维总结 用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题 由k过渡到k 1时常利用几何图形来分析前后的变化情况 并用严谨的文字给予说明 课堂互动讲练 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式 往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 再猜出从某个n值开始都成立的结论 最后用数学归纳法证明 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 即n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 命题对所有n N 都成立 思维总结 本题主要考查数列的递推关系 通项公式及前n项和公式 数学归纳法 不等式证明等基础知识和基本技能 同时考查逻辑推理能力 课堂互动讲练 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 本题满分12分 设数列 an 的前n项和为Sn 且方程x2 anx an 0有一个根是Sn 1 n 1 2 3 1 求a1 a2 2 求 an 的通项公式 解 1 当n 1时 x2 a1x a1 0有一根为S1 1 a1 1 于是 a1 1 2 a1 a1 1 a1 0 课堂互动讲练 高考检阅 课堂互动讲练 2 由题设 Sn 1 2 an Sn 1 an 0 Sn2 2Sn 1 anSn 0 当n 2时 an Sn Sn 1 代入上式得Sn 1Sn 2Sn 1 0 课堂互动讲练 下面用数学归纳法证明这个结论 n 1时已知结论成立 假设当n k k N k 1 时结论成立 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 数学归纳法数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法 应用时应注意以下三点 1 验证是基础数学归纳法的原理表明 第一步是要找一个数n0 这个n0就是要证明的命题对应的最小自然数 这个自然数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是正确运用数学归纳法时首先要注意的问题 规律方法总结 2 递推是关键数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程 必须把归纳假设 n k 作为条件来推出 n k 1 时的命题 在推导过程中 要把归纳假设用上一次或几次 3 寻找递推关系 在第一步验证时 不妨多计算几项 并争取正确写出来 这样对发现递推关系是有帮助的 规律方法总结 探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律 观察n处在哪个位置 在写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 中的最后