函数的单调性.ppt

1 3 1函数的单调性 观察下列各个函数的图象 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 1 观察这三个图象 你能说出图象的特征吗 2 随x的增大 y的值有什么变化 f x x3 x y 0 f x x x y 0 x y 0 f x x2 图1 图2 图3 观察下面三个函数图象的变化特点 y x3 显然有 在R上任意取两个值x1 x2当x1 x2时 都有f x1 f x2 f x x 显然有 即在R上任意取两个值x1 x2当x1 x2时 都有f x1 f x2 1 在 0 上取x 3 x 2 x 1 则f 3 9 f 2 4 f 1 1 显然有 2 在 0 上取x 0 x 1 x 2 则f 0 0 f 1 1 f 2 4 显然有 即在 0 上任意取两个值x3 x4当x3 x4时 即在 0 上任意取两个值x1 x2当x1 x2时 f x x2 都有f x1 f x2 都有f x3 f x4 一 问题提出 思考1 分别作出的图像 并且观察自变量变化时 函数值有什么变化规律 思考2 能否根据自己的理解说说什么是增函数 什么是减函数 1 如果函数在某个区间上随着自变量x的增大 y也越来越大 我们就说函数在该区间上为增函数 2 如果函数在某个区间上随着自变量x的增大 y越来越小 我们就说函数在该区间上为减函数 二 新知探究 解析法 图像法 通俗语言 在区间 0 上 随着x的增大 相应的f x 也随着增大 数学语言 在区间 0 上 任取 得当时 有 这时我们就说函数在区间 0 上是增函数 列表法 0 y x1 x2 f x2 f x1 0 y x1 x2 f x2 f x1 x x 从左至右 图象上升 从左至右 图象下降 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x1 x2时 f x1 f x2 当x1 x2时 f x1 f x2 那么就说在f x 在区间D上是单调减函数 D称为f x 的单调减区间 由此得出单调增函数和单调减函数的定义 x 那么就说f x 在区间D上是单调增函数 D称为f x 的单调区间 增 当x1 x2时 都有f x1 f x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 单调区间 2 函数单调性是针对某个区间而言的 是一个局部性质 1 如果函数y f x 在区间I上是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间I上具有单调性 在单调区间上 增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 注意 判断1 函数f x x2在上是单调增函数 判断2 定义在R上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在R上是增函数 3 x1 x2取值的任意性 判断题 1 已知f x 因为f 1 f 2 所以函数f x 是增函数 2 若函数f x 满足f 2 f 3 则函数f x 在区间 2 3 上为增函数 3 若函数f x 在区间 1 2 和 2 3 上均为增函数 则函数f x 在 1 3 上为增函数 4 因为函数f x 在区间 0 和 0 上都是减函数 所以f x 在 0 0 上是减函数 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每个区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 其中y f x 在区间上是减函数 在区间上是增函数 5 2 2 1 1 3 3 5 5 2 和 1 3 2 1 和 3 5 例2 画出下列函数图像 并写出单调区间 数缺形时少直观 讨论1 根据函数单调性的定义 讨论2 在和上的单调性 解 函数的图象如右图所示 变式2 讨论的单调性 变式1 讨论的单调性 例2 画出下列函数图像 并写出单调区间 的对称轴为 返回 例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 证明 根据单调性的定义 设V1 V2是定义域 0 上的任意两个实数 且V1 V2 则 由V1 V2 0 且V10 V2 V1 0 又k 0 于是 所以 函数是减函数 也就是说 当体积V减少时 压强p将增大 取值 定号 结论 例2 1 证明函数f x 3x 2在R上是减函数 证明 设x1 x2是R上的任意两个实数 且x1 x2 f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x2 x1 由x1 x2 得x2 x1 0 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以 函数f x 3x 2在R上是减函数 2 证明函数在区间 0 上为增函数 设x1 x2是 0 上的任意两个实数 且0 x1 x2 则 由0 x1 x2得且 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以函数在区间 0 上为增函数 取值 作差 变形 定号 判断 证明 例3 写出f x x2 4x 5的单调递增区间 并证明 证明 所以f x x2 4x 5的单调递增区间为 2 2 通过观察函数图象 对函数是否具有某种性质作出一种猜想 然后通过推理的方法 证明这种猜想的正确性 这是发现问题和解决问题的一种常用数学方法 即先猜后证 1 5 例3 判断函数在定义域上的单调性 证明 在区间上任取两个值且 则 且 所以函数在区间上是增函数 取值 作差 变形 定号 结论 三 判断函数单调性的方法步骤 1任取x1 x2 D 且x1 x2 2作差f x1 f x2 3变形 通常是因式分解和配方 4定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5下结论 即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 利用定义证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 2 在区间 0 上是增函数的是 1 求证函数y x3在R上是增函数 练习 问题1函数f x x2 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 当x 0时 f x f 0 x 0时 f x f 0 从而x R 都有f x f 0 因此x 0时 f 0 是函数值中的最小值 问题2函数f x x2 同理可知x R 都有f x f 0 即x 0时 f 0 是函数值中的最大值 函数最大值定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 1 对于任意x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最大值 函数最小值定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 1 对于任意x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最小值 2 函数最大 小 值应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的x I 都有f x M f x M 注意 1 函数最大 小 值首先应该是某一个函数值 即存在x0 I 使得f x0 M 例1 设f x 是定义在区间 6 11 上的函数 如果f x 在区间 6 2 上递减 在区间 2 11 上递增 画出f x 的一个大致的图象 从图象上可以发现f 2 是函数f x 的一个 例3 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为 h t 4 9t2 14 7t 18 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 解 作出函数h t 4 9t2 14 7t 18的图象 如图 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 由二次函数的知识 对于h t 4 9t2 14 7t 18 我们有 于是 烟花冲出后1 5秒是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度为29m 例4 求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由于20 x1 1 x2 1 0 于是 所以 函数是区间 2 6 上的减函数 因此 函数在区间 2 6 上的两个端点上分别取得最大值和最小值 即在点x 2时取最大值 最大值是2 在x 6时取最小值 最小值为0 4 二 利用函数单调性判断函数的最大 小 值的方法 1 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则函数y f x 在x a处有最小值f a 在x b处有最大值f b 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数y f x 在x b处有最小值f b 练一练 试用定义法证明函数在区间上是单调增函数 返回 是定义在R上的单调函数 且的图象过点A 0 2 和B 3 0 1 解方程 2 解不等式 3 求适合的的取值范围 思考 成果运用 若二次函数的单调增区间是 则a的取值情况是 变式1 若二次函数在区间上单调递增 求a的取值范围 A B C D 成果运用 若二次函数在区间上单调递增 求a的取值范围 解 二次函数的对称轴为 由图象可知只要 即即可 数与形 本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘 几何代数统一体 永远联系莫分离 华罗庚 谢谢指导 例5 证明函数上是增函数 例6 证明函数在R上是增函数 证明 任取 例7 证明函数在其定义域内是减函数 思考 1 如果函数f x 在区间D上是增函数 函数g x 在区间D上是增函数 问 函数F x f x g x 在D上是否仍为增函数 为什么 所以函数F x f x g x 在D上是否仍为增函数 是 2 如果函数f x 在区间D上是减函数 函数g x 在区间D上是减函数 问 函数F x f x g x 在D上是否仍为减函数 为什么 3 如果函数f x 在区间D上是减函数 函数g x 在区间D上是增函数 问 能否确定函数F x f x g x 的单调性 反例 f x x在R上是增函数 g x x在R上是减函数此时F x f x g x x x 0为常函数 不具有单调性 不能 是 小结 同增异减 研究函数的单调性 首先考虑函数的定义域 要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 复合函数单调性 注 1 复合函数y f g x 的单调区间必须是其定义域的子集2 对于复合函数y f g x 的单调性是由函数y f u 及u g x 的单调性确定的且规律是 同增 异减 例1 设y f x 的单增区间是 2 6 求函数y f 2 x 的单调区间 小结 在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间 小结 考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域 在定义