运用数形结合的思想方法解题.docx

专题二十二 运用数形结合的思想方法解题 【典题导引】例1.（数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题）（1）函数的值域为 （2）若实数、满足条件，则的取值范围是_.（3）的最大值为 （4）若实数、满足，则的最小值为 解：(1)令，则，设点，则，从而问题化归为半圆上的动点与定点连线的斜率的取值范围结合图形易求得(2)，令，则为双曲线上动点与坐标原点连线的斜率，结合图形易求得，其值域为(3)令，则，从而问题化归为求圆上点与圆上点距离平方的最大值结合图形易求得，(4)令，则，且点，分别在函数，的图象上结合图形易知为函数图象与直线平行的切线的切点与直线的距离，可求得切点，例2.（数形结合解决隐含轨迹问题）（1）已知，则与的夹角的取值范围为 （2）已知是平面上三个不同的点，若存在实数，使得，则的取值范围是 （3）设是等腰腰的中点，若，则面积的最大值为 解：(1)，点是圆 上的任意一点，结合图形易求得与的夹角的取值范围为(2)题设有点、是椭圆上的点，为其左焦点，且，三点共线，结合图形知与同向，由得由椭圆的焦半径性质得(3)不妨设，则，以中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，易求得点的轨迹方程为，例3. 已知函数，.（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的最大值.解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于的解或无解 ，结合图形得； （2）因为= 当时，结合图形可知在上递减，在上递增，且，经比较，此时在上的最大值为. 当，即时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为. 当，即时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为. 当，即时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且, ，经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递增，在上递减，故此时在上的最大值为.综上，当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为.例4.（2010江苏改编）设是定义在区间上的函数，其导函数为如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质已知函数具有性质，给定，设m为实数， ，且，若，求的取值范围解：由题意，得，又对任意的都有，所以对任意的都有，在上单调递增又，当，时，且，或.若，则，,不合题意.，即解得，；当时，符合题意；当时，且，同理有，即解得，综合以上讨论得：所求的取值范围是【归类总结】1“数”与“形”之间是有紧密联系的，既可以由“数”来研究“形”，也可以由“形”来研究“数”，这种“数”与“形”相互转化的数学思想即为数形结合思想2数形结合的思想方法的应用可以分为两种情况：一是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合3数形结合的途径：（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式： 常见方法有：解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化例如，将与距离互化，将与面积互化，将与余弦定理沟通，将且中的、与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用常见的转换途径为：方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质构造几何模型通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直