异面直线所成的角(教师版).doc

广东北江中学高二数学补充讲义：立体几何基础过关异面直线所成的角（教师版）求两条异面直线所成角的步骤：(1) ；(2) ；(3) ；答案：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角一例题与课堂练习题1在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别为AB、CD的中点，EF，求AD、BC所成角的大小解：设BD的中点G，连接FG，EG。在EFG中 EF FGEG1EGF120 AD与BC成60的角。题2S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，BMANCS且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB题3正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SASBSCa，E，F分别是SC和AB的中点求异面直线SA和EF所成角答案：45题4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，ACBNMA1C1B1若BCCACC1，求NM与AN所成的角解：连接MN，作NGBM交BC于G，连接AG，易证GNA就是BM与AN所成的角设：BCCACC12，则AGAN，GNB1M，cosGNA。题5如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点求与所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90,即直线AE与D1F所成的角为直角。B(图128)AABCDCDFE题6如图128的正方体中，E是AD的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线? (2)求直线BA和CC所成的角的大小； (3)求直线AE和CC所成的角的正切值； (4)求直线AE和BA所成的角的余弦值解：(1) A平面BC，又点B和直线CC都在平面BC内，且BCC, 直线BA与CC是异面直线 同理，正方体12条棱中的CD、DD、DC、AD、BC所在的直线都和直线BA成异面直线 (2) CCBB， BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角 ABB=45 BA和CC所成的角是45 (3) AABBCC，故AE和AA所成的锐角AAE是AE和CC所成的角在RtAAE中，tanAAE，所以AE和CC所成角的正切值是 (4)取BC的中点F，连EF、BF，则有EFABAB, ABFE是平行四边形，从而BFAE, 即BFAE且BF=AE. BF与BA所成的锐角ABF就是AE和BA所成的角ABFM(图129)设正方体各棱长为2，连AF，利用勾股定理求出ABF的各边长分别为AB2，AFBF，由余弦定理得：cosABF【说明】(1)如图129，单独画出ABF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法； (2)解法中用余弦定理求cosABF,其实有更简单方法，请找出简单方法 (3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案? 异面直线所成的角的作业班级： 姓名： 学号： 一 判断是非(下列命题中，正确的打“”，错误的打“”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形； (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行； (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面； (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点； (9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线； (11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面案案：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；二 选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线 4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( ) (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面B1(第6题)A1ABC1D1CD5.说出正方体中各对线段的位置关系： (1) AB和CC1； (2)A1C和BD1； (3)A1A和CB1； (4)A1C1和CB1； (5)A1B1和DC； (6)BD1和DC.答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)5(2)相交，(5)平行，其余异面； (第7题)F1ABCD1C1A1B1B1(第6题)A1ABC1D1CDMN6.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )答案：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F； 7.如图，A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) 答案：(A)，延长B1A1至M，使A1MA1D1，连MA，取AB中点N8.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 如果ab、bc，则ac； 如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面在上述四个命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条FABCES(第11题) (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条 11.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)30答案：8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；(第五题)MABCNC1A1B1ABCDM(第三题)N43三如图，四面体ABCD中，ACBD,且AC4，BD3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值ABCD(第四题)E6688ABCDE(第六题)785445四.如图，四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值 五.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与CC1所成角的余弦值。 六.如图，四面体ABCD中，E为AD中