北师大版必修3 第三章 2.3 互斥事件 学案.docx

2.3互斥事件学习目标1.了解互斥事件、事件ab及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率知识点一互斥事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生？答案不能梳理在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件a与b称作互斥事件知识点二事件ab给定事件a，b，我们规定ab为一个事件，事件ab发生是指事件a和事件b至少有一个发生知识点三互斥事件概率加法公式思考一枚均匀的骰子抛掷一次，记事件a“向上的点数大于2”；b“向上的点数大于3”；则p(ab)是否等于p(a)p(b)?答案ab即：向上的点数大于2，p(ab)，而p(a)，p(b)，p(a)p(b)p(ab)梳理互斥事件概率加法公式(1)在一个随机试验中，如果随机事件a和事件b是互斥事件，那么有p(ab)p(a)p(b)(2)如果随机事件a1，a2，an中任意两个是互斥事件，那么有p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)知识点四对立事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记a“抽到红色牌”；b“抽到黑色牌”，则a，b的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？答案共同点：都不能同时发生；不同点：在一次试验中，a，b必有一个发生梳理在同一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件a的对立事件记作；对立事件概率公式p()1p(a)1若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件()2若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件()3若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.()类型一事件的关系与判断例1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”解(1)是互斥事件理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件(2)不是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生(3)不是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生(4)是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生反思与感悟如果a，b是两个互斥事件，反映在集合上，是表示a，b这两个事件所含结果组成的集合交集为空集跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 事件a ：命中环数大于7环； 事件b ：命中环数为10环； 事件c ：命中环数小于6环； 事件d ：命中环数为6,7,8,9,10环解a 与c 互斥(不可能同时发生)，b 与c 互斥，c 与d 互斥，c 与d 是对立事件(至少一个发生)类型二概率的加法公式例2从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件a“抽到的是一等品”，事件b“抽到的是二等品”，事件c“抽到的是三等品”，且p(a)0.7，p(b)0.1，p(c)0.05.求下列事件的概率：(1)事件d“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件e“抽到的是二等品或三等品”解(1)事件d即事件ac，因为事件a“抽到的是一等品”和事件c“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，p(d)p(ac)p(a)p(c)0.70.050.75.(2)事件e即事件bc，因为事件b“抽到的是二等品”和事件c“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，p(e)p(bc)p(b)p(c)0.10.050.15.反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”跟踪训练2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率解分别记小明的成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分为事件b，c，d，e，这四个事件是彼此互斥的根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是p(bc)p(b)p(c)0.180.510.69.小明考试及格的概率为p(bcde)p(b)p(c)p(d)p(e)0.180.510.150.090.93.类型三对立事件的概率例3某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少？(2)他参加不超过2个小组的概率是多少？解(1)从题图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用a表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则就表示“选取的成员至少参加2个小组”，所以p()1p(a)10.6.因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.(2)用b表示事件“选取的成员参加3个小组”，则就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，所以p()1p(b)1.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于.反思与感悟求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率跟踪训练3某战士射击一次，若事件a“中靶”的概率为0.95，事件b“中靶环数大于5”的概率为0.7.(1)的概率为多少？(2)事件c“中靶环数小于6”的概率为多少？(3)事件d“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？解(1)因为a与互为对立事件，所以p()1p(a)0.05.(2)事件b与事件c互为对立事件，所以p(c)1p(b)0.3.(3)事件d的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即p(d)p(c)p()0.30.050.25.1给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件a与b的和事件的概率一定大于事件a的概率；事件a与b互斥，则有p(a)1p(b)其中正确命题的个数为()a0 b1 c2 d3答案c解析对立必互斥，互斥不一定对立，正确，错；又当aba时，p(ab)p(a)，错；只有当a与b为对立事件时，才有p(a)1p(b)，错2把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()a对立事件 b不可能事件c互斥但不对立事件 d以上答案都不对答案c解析由于只有一本语文书，甲、乙两同学不可能同时得到，所以这两个事件为互斥事件又因为甲、乙可以都得不到语文书，所以这两事件不是对立事件3在同一事件下，若p(ab)p(a)p(b)1，事件a与事件b的关系是()a互斥不对立 b对立不互斥c互斥且对立 d以上答案都不对答案c4从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是()a至少有一个红球；都是红球b至少有一个红球；都是白球c至少有一个红球；至少有一个白球d恰有一个红球；恰有两个红球答案d解析可以先考虑哪几对事件是互斥的，然后从中排除还是对立的事件后，即可获得互斥而不对立的事件在各选项所涉及的四对事件中，仅选项b和d中的两对事件是互斥事件同时，又可以发现选项b所涉及事件是一对对立事件，而d中的这对事件可以都不发生，故不是对立事件5甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是_答案解析记甲队胜为事件a，则p(a)1.1互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念：互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生(2)利用集合的观点来判断：设事件a与b所含的结果组成的集合分别是a，b.事件a与b互斥，即集合ab；事件a与b对立，即集合ab，且abi，也即aib或bia；对互斥事件a与b的和ab，可理解为集合ab.2运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果3求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.一、选择题1p(a)0.1，p(b)0.2，则p(ab)等于()a0.3 b0.2c0.1 d不确定答案d解析由于不能确定a与b是否互斥，所以p(ab)的值不能确定2对同一事件来说，若事件a是必然事件，事件b是不可能事件，则事件a与事件b的关系是()a互斥不对立 b对立不互斥c互斥且对立 d不互斥、不对立答案c解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件a与事件b的关系是互斥且对立3从1,2，9中任取两个数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述几对事件中是对立事件的是()a b c d答案c解析从1,2，9中任取两个数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数中“恰有一个偶数”和“恰有一个是奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；中“至少有一个是奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；中是对立事件，故选c.4从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.84.85(g)范围内的概率是()a0.62 b0.38c0.02 d0.68答案c解析设“质量小于4.8g”为事件a，“质量小于4.85 g”为事件b，“质量在4.8 g4.85 g”为事件c，则acb，且a，c为互斥事件，所以p(b)p(ac)p(a)p(c)，则p(c)p(b)p(a)0.320.30.02.5现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为()a. b. c. d.答案c解析记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件a，b，c，d，e，则a，b，c，d，e互斥，取到理科书的概率为事件b，d，e概率的和p(bde)p(b)p(d)p(e).6某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数t3060100110130140概率p其中污染指数t50时，空气质量为优；50t100时，空气质量为良；100t150时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为()a. b. c. d.答案a解析由于空气质量达到良或优包含污染指数t100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2017年空气质量达到良或优的概率为.7掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为.事件a表示“小于5的偶数点出现”，事件b表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件a(表示事件b的对立事件)发生的概率为()a. b. c. d.答案c解析由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件a与事件互斥，由概率的加法计算公式，可得p(a)p(a)p().8在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是()a都是一级品b都是二级品c一级品和二级品各1件d至少有1件二级品答案d解析基本事件总数为10,2件都是一级品包含的基本事件有3种，因此至少有1件二级品的基本事件有7种，故“至少有1件二级品”的概率为.二、填空题9同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是_答案解析记“同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点”的事件为a，则p(a)，至少有一个5点或6点的事件为b.则a与b是对立事件，所以p(b)1p(a)1.故至少有一个5点或6点的概率为.10盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球设事件a表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件b表示“3个球中有2个红球，1个白球”已知p(a)，p(b)，则“3个球中既有红球又有白球”的概率为_答案解析记事件c为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件a“3个球中有1个红球，2个白球”和事件b“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件a与事件b是互斥的，所以p(c)p(ab)p(a)p(b).11在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有_人答案120解析可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1.再由题意，知nn12，解得n120.三、解答题12某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解(1)记“他乘火车去”为事件a1，“他乘轮船去”为事件a2，“他乘汽车去”为事件a3，“他乘飞机去”为事件a4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥故p(a1a4)p(a1)p(a4)0.30.40.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为p，则p1p(a2)10.20.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于p(a1)p(a2)0.30.20.5，p(a3)p(a4)0.10.40.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去13玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件a为“取出1个红球”，事件b为“取出1