第九届陈省身杯第1天试题解答.pdf

陈省身数学周组织委员会 1 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 1 已知锐角 ABC 的外接圆为 O 边 BC CA AB 上的高的垂足分 别为 D E F 直线 EF 与 O 的 AB AC分别交于点 G H 直线 DF 与 BG BH 分别交于点 K L 直线 DE 与 CG CH 分别交于点 M N 证明 K L M N 四点共圆 且该圆的直径为 222 2 bca 其中 BC a CA b AB c 证明证明 如图 1 因为 B C E F 四点共圆 所以 AFEACB 图 1 2 GBHA AFE注意到 22 ABAGGB ACB 从而 HAAG 即AGAH 因为 C A F D 四点共圆 所以 BFDACBAFEBFG 从而 直线 GH 与直线 DK 关于直线 AB 对称 由 AGAH 知GBAABH 从而 直线 BK 与直线 BH 关于直线 AB 对称 因此 点 K H 关于直线 AB 对称 即 AK AH 类似地 点 L G 关于直线 AB 对称 即 AL AG 陈省身数学周组织委员会 2 G N 关于直线 AC 对称 即 AG AN M H 关于直线 AC 对称 即 AM AH 综上 AL AN AG AH AK AM 因此 K L M N 四点共圆 且圆心为 A 半径为 AG 记该圆为 A 设 O 的半径为 R O 的直径 AQ 与 GH 交于点 P 如图 2 图 2 则 AGQ 90 且 AP GH 由射影定理得 2 AGAQ AP 注意到 sin cossinAPAFAFE ACCABACB 222222 2cossin 22 AQ APR ACCABACB bcabca AB AC bc 故 因此 222 2 bca AG A 的直径为 222 2 bca 陈省身数学周组织委员会 3 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 2 设 a b c d 0 证明 111111 333333 a bc dabcacd 并求 等号成立的充分必要条件 证明证明 由均值不等式得 1 1 3 3 33 ababac abc acdac abc acd abac acabcacd 1 1 3 3 33 cdcacd abc acdac abc acd cacd acabcacd 以上两式相加得 11 33 333 abcd abc acdabc acd 即 111111 333333 a bc dabcacd 等号成立的充分必要条件为 abac acabcacd cacd acabcacd abac acabcacd 令 0 1 abac acabcacd 则 1 ca 1 1 ba 2 1 da 即等号成立的充分必要条件为 1 1 ba 1 ca 2 1 da 其中 0 1 陈省身数学周组织委员会 4 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 3 已知正整数 n 2 若整数数列 x0 x1 xn满足 1 对任意的 0 i n 有 xi n 2 对任意的 0 i j n 有 xi xj 3 对任意的 0 i j k n 有 1 max 2 kikjijjkki xxxxxxxxxx 则称该数列为 优数列 求优数列的个数 解解 对 0 i j k n 由条件 3 得 1 max 2 max min kikjijjkki ijkijk xxxxxxxxxx x x xx x x 则 xk在数轴上不夹在 xi xj中间 即 xi xk xj或 xj xk xi均不成立 首先 设 x0 x1 xn为连续 n 1 个整数组成的一个满足条件 3 的排 列 由前面的论述知对 k 1 2 n 有 x0 x1 xk为连续 k 1 个整数的排 列 将满足条件 3 的每个排列 x0 x1 xn依下标顺序放到数轴上 设 x0 i 则 x1有两种可能位置 i 1 或 i 1 当已经将 x0 xk 1放到数轴上 时 xk的位置也有两种可能 01 min1 i ik x 或 01 max1 i ik x 故将所有满足条 件 3 的 x0 x1 xn放到数轴上时 其相互位置共有 2n种放法 即对于连续 n 1 个整数 其满足条件 3 的排列个数为 2n 最后 从 Z n n 中任意选出 n 1 个数 将其依大小关系编号为 0 1 n 将其视为连续 n 1 个整数 知其满足条件 3 的排列个数为 2n 故 满足条件 1 2 3 的排列总数为 1 21 Cnn 2n 陈省身数学周组织委员会 5 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 4 某年级有 3N 名学生 在一次数学测验中可能的分数为 60 61 100 这些分数至少各出现两次 且平均分数为 82 4 证明 可将这个年级 的学生分成三个班 每班有 N 名学生 且各班的平均分数均为 82 4 证明证明 设此年级 3N 名学生的分数分别为 123 60100 N aaa 且 定义和 1 i N ij j i sa i 0 1 2N 显然 02NN sss 且 3 02 1 82 4 3 N NNj j sssaN 82 4 3N 为 正整数 故0 mod5 N 因此 82 4N为正整数 显然 02 82 4 N sNs 注意到 若 0 82 4sN 则 2 82 4 NN ssN 即 123 82 4 N aaa 矛盾 从而 0 82 4sN 类似地 2 82 4 N sN 因此 02 82 4 N sNs 设 1 0 1 N jN l j f laa 其中 0 1 2lN 显然 00 0 82 4fsN 且 001 1 N lN l f lf laa 0 或 1 即 0 f l在集合 0 1 2 N 上为连续变化的整数 陈省身数学周组织委员会 6 若 0 2 82 4 fNN 则由中间值定理 知存在 0 1 2 mN 使得 0 82 4f mN 对应的 N 名学生可以组成满足条件的一班 若 0 2 82 4fNN 则定义 2 13 1 N NjN l j f laaa 其中 1 0 1 21 lN 显然 10 1 2 82 4ffNN 注意到 111 1 N lN l f lf laa 0 或 1 即 1 f l在 1 0 1 21 N 上为连续变化的整数 若 1 2 1 82 4fNN 则由中间值定理 知存在 1 0 1 21 mN 使得 1 82 4f mN 对应的 N 名学生可以 组成满足条件的一班 依此类推 定义 31 311 NN k kjjN l jN kj f laaa 其中 1 2 lkkkN 0 1 2 1 kN 则 1 1 2 kk fkfkN 注意到 3 12 12 22 1 82 4 N NjNN jN fNaasN 故存在 0 1 2 1 kN 使得 82 4 2 kk fkNfNk 类似地 存在 1 2 mkkkN 使得 82 4 k f mN 对 应的 N 名学生可以组成满足条件的一班 其余的 2N 名学生的分数依次为 122N bbb 其取值为 12 N b b上 的正整数 且此区间内的每个正整数各至少出现一次 且 122 N b bb 的算 术平均值为 82 4 陈省身数学周组织委员会 7 设 1 i N ij j i tb 0 1 iN 显然 01N ttt 且 2 0 1 82 4 2 N Nj j ttbN 于是 0 82 4 N tNt 设 k 为使82 4 k tN 成立的最大角标 若 82 4 k tN 则结论成立 以 下不妨设82 4 k tN 显然 kN 因此 1 82 4 kk tNt 设 1 1 N k jk l j k g lbb 1 2 1lN 注意到 1 1 1 k lk l g lg lbb 或 0 因此 g