北师大版必修一 二次函数及其性质的应用 教案.doc

二次函数及其性质的应用【考点精讲】1. 二次函数的图象和性质图象函数性质a0定义域xr（个别题目有限制的，由解析式确定）值域a0a0a0a0时，图象与x轴有两个交点m1（x1，0）、m2（x2，0），|m1m2|x1x2|。【典例精析】例题1 已知函数yx24x5，求：（1）xr时函数的值域；（2）x1，0，1，2，3，4时的函数值域；（3）x2，1 时函数的值域。思路导航：函数值域是由定义域与其对应关系确定的，在求函数有关问题时，始终要把握好“定义域优先”的原则，注意二次函数的特定区间求值域。解：（1）xr，yx24x5（x2）29，值域为9，）。.（2）当x1时，y（1）24（1）50；当x0时，y5；当x1时，y124158；当x2时，y224259；当x3时，y324358；当x4时，y424455。当x1，0，1，2，3，4时函数yx24x5的值域为9，8，5，0。（3）当x2，1 时的图象如图所示，由二次函数的性质可知函数yx24x5在x2，1 上的最小值为ymin124158，最大值为ymax（2）24（2）57。其值域为8，7 。答案：（1）9，） （2）9，8，5，0 （3）8，7 点评：1. 求函数的值域应遵循“定义域优先”的原则。 2. 求二次函数的值域要结合二次函数的图象求其值域。例题2 已知函数f（x）x2ax3在区间1，1 上的最小值m为3，求实数a的取值。思路导航：所给二次函数的对称轴x是变化的，而区间是固定的，因而只需确定二次函数对称轴与区间的关系，即可求得a的取值范围。f（x）（x）23，开口向上，区间1，1 确定，对称轴x随a变化。（1）当1，即a2时，作草图（）。f（x）在1，1 上是增函数，所以mf（1）3，得1a33。所以a7。（2）当1，即a2时，作草图（）。f（x）在1，1 上是减函数，mf（1）1a33，所以a7。（3）当11，即2a2时，作草图（）.此时，对称轴在区间1，1 内，所以mf（）33，得a2，这与2a2矛盾，舍去。因此所求的实数a7或7。 （） （） （）答案：实数a7或7。点评：利用函数图象求函数的最值注意区间与对称轴的关系。例题3 设a为实数，函数f（x）2x2（xa）|xa|。（1）若f（0）1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；思路导航：（1）求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可。（2）求f（x）的最小值，由于f（x）可化为分段函数，分别求出各分段函数的最值，然后综合在一起。（1）因为f（0）a|a|1，所以a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范围为（，1 。（2）记f（x）的最小值为g（a），则有f（x）2x2（xa）|xa|（）当a0时，f（a）2a2，由知f（x）2a2，此时g（a）2a2。（）当aa，则由知f（x）a2。若xa，由知f（x）2a2此时g（a）2a2综上，得g（a）2a2。答案：（1）a的取值范围为（，1 。 （2）f（x）的最小值为g（a）2a2。点评：分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的思想方法。在解答本题时有两点容易造成失分：（1）求实数a的值时，讨论的过程中需注意a自身的取值范围；（2）求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论。除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：（1）含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；（2）分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；（3）解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻。【总结提升】1. 求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴在区间的相对位置，简称“两看法”。只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解。2. 运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题。当对称轴在给定区间的左侧时，它是增函数，它的最值点在区间的两个端点处取得。当对称轴在给定区间的右侧时，它是减函数，它的最值点在区间的两个端点处取得。当对称轴在给定区间内时，在对称轴处取一个最值，在离对称轴较远处取得另一最值。二次函数在闭区间上的最值问题，只有反复的训练，才能真正掌握利用简单原理解决复杂问题的本领。二次函数及其性质的应用1. 函数在上是增函数，在上是减函数，则（ ）a. b. c. d. 的符号不定2. 已知函数为偶函数，则在区间上是（ ）a. 增函数 b. 减函数 c. 部分增部分减 d. 无法确定单调性3. 若二次函数对任意的实数都满足，则实数的值为 （）a. b. c. 3d. 34. 在同一坐标系内，函数yaxb和yax2bxc的图象只可能是（ ）5. 已知f（x）为二次函数，其图象顶点为（1，3），且过原点，求f（x）。6. 已知二次函数，试求：（1）当时，求的最值；（2）当时，求的最值；（3）当时，求的最小值7. 已知函数f（x）=x24ax+2a+6（ar）。（1）若函数的值域为0，+），求a的值；（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2a|a+3|的值域。二次函数及其性质的应用1. b 解析：二次函数的图象开口向下，所以a0，根据对称轴x1，得到b2a。2. a 解析：因为二次函数是偶函数，所以m0，所以二次函数的图象开口向下，在x0时都是递增的。3. d 解析：由二次函数的对称轴x3，得到a3。4. b 解析：一次函数递增，则二次函数图象开口向上，一次函数与y轴的交点的正负，决定二次函数的对称轴。5. f（x）3x26x。解析：解法一：由于图象的顶点是（1，3），故设f（x）a（x1）23（a0）。图象过原点（0，0），a30，a3。故f（x）3（x1）23。解法二：设f（x）ax2bxc（a0），依题意得即解得f（x）3x26x。6. （1）；（2）；（3）当t0时，g（t）2当0t1时，g（t）2t3解析：（1）当x0时取最小值y3，当x2时取最大值y11，（2）当x1时取最小值y2，当x2时取最大值y11。（3）需要分类讨论，即当在对称轴左侧，在对称轴右侧，在这个区间中包括对称轴三种情况进行讨论。7. 解：（1）函数的值域为0，+），即二次函数f（x）=x24ax+2a+6图象不在x轴下方，=0，即16a24（2a+6）=0，