二轮三角变换与解三角形.doc

2015届高三数学二轮复习教学案-专题二：三角函数与平面向量班级： 姓名： 日期： 第2讲 三角变换与解三角形【目标引领】1、 三角恒等变换以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合。2、 解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点。【主干知识梳理】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin . (2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2、二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos . (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3、三角变换的基本思路（1）化异为同：化异名为同名，化异次为同次，化异角为同角；（2）切化弦；（3）1的代换；（4）角的变换是核心：如，等。4 正弦定理 2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.5 余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.6 面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.7、三角形中的常用结论（1） (2) (3) 【自学探究】1、已知，则 2、 3、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ABC为 三角形（填直角，锐角或钝角）。4、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 5、(2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B等于_答案解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.【典型问题研究】考点一、三角变换1、(2013四川)设sin 2sin ，则tan 2的值是_2、(2013广东)已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值； (2)若cos ，求f3、(2012江苏)设为锐角，若cos，则sin的值为_1、sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10即cos ，sin ，tan ，tan 2.2、(1)fcoscoscos 1.(2)fcoscoscos 2sin 2，又cos ，sin ，sin 22sin cos ，cos 22cos2 1，fcos 2sin 2.3、为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.考点二、解三角形1、(2013课标全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值2、设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2bc)cos Aacos C.(1)求角A的大小；(2)若角B，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积1、解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B，又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.2、解(1)(2bc)cos Aacos C，(2sin Bsin C)cos Asin Acos C.即2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Asin B.sin B0，cos A，0A，A.(2)由(1)知AB，所以ACBC，C，设ACx，则MCx.又AM，在AMC中，由余弦定理得AC2MC22ACMCcos CAM2，即x222xcos 120()2，解得x2，故SABCx2sin .考点三、正、余弦定理的实际应用1、(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？2、在南沙某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？1、解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内2、解由题意，得轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟又船始终匀速前进，所以BC4EB.设EBx，则BC4x.由已知，得BAE30，EAC150.在AEC中，由正弦定理，得，所以sin C.在ABC中，由正弦定理，得，AB.在ABE中，由余弦定理，得BE2AB2AE22ABAEcos 302525，故BE.所以船速v(km/h)所以该船的速度为 km/h.【总结、探究、提高】：第2讲、三角变换与解三角形作业一、填空题1 设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_答案解析根据、都是锐角，且cos ，sin2cos21，得sin ，又sin()，cos().又cos cos()cos()cos sin()sin .2 已知cossin ，则sin的值是_答案解析cossin ，cos sin ，sin，sin，sinsin.3 锐角三角形ABC中，若C2B，则的范围是_答案(，)解析设ABC三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则有2cos B.又C2B，B.又A(BC)3B，即B，cos B，2cos B.4 已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B，则tan B等于_答案2解析由题意得，|cos Baccos B，即cos B，由余弦定理，得cos Ba2c2b21，所以tan B2.5 (2013重庆改编)计算：4cos 50tan 40_.答案解析4cos 50tan 40.6 (2013福建)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案解析sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233，即BD23，BD.7 已知tan，且0，则_.答案解析由tan，得tan .又0，可得sin .故2sin .8 在ABC中，C60，AB，AB边上的高为，则ACBC_.答案解析依题意，利用三角形面积相等有：ABhACBCsin 60，ACBCsin 60，ACBC.利用余弦定理可知cos 60，cos 60，解得：AC2BC2.又因(ACBC)2AC2BC22ACBC11，ACBC.二、解答题9已知函数f(x)sin(2x)2cos2x1(xR)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)，2abc，bc18，求a的值解(1)f(x)sin(2x)2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)由f(A)，得sin(2A).2A2，2A.A.由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc.又2abc，bc18，a24a2318，即a218，a3.10(2013四川)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B，根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.11(2013福建)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上，(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小