2017年9月25日数学周测试卷8.docx

2017年9月25日数学周测试卷 一、选择题（共1小题；共5分）1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+1 与圆 x2+y2=4 相交于 A，B 两点，则 cosAOB= A. 510B. 510C. 910D. 910 二、解答题（共14小题；共182分）2. 如图，已知圆 C:x2+y2=9，点 A5,0，直线 l:x2y=0（1）求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程；（2）在直线 OA 上（O 为坐标原点），存在定点 B（不同于点 A），满足对于圆 C 上任一点 P，都有 PBPA 为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标 3. 已知圆心为 C 的圆，满足下列条件：圆心 C 位于 x 轴正半轴上，与直线 3x4y+7=0 相切，且被 y 轴截得的弦长为 23，圆 C 的面积小于 13 .（1）求圆 C 的标准方程；（2）设过点 M0,3 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A，B，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OADB，是否存在这样的直线 l，使得直线 OD 与 MC 恰好平行?如果存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由 4. 已知圆 x2+y2=8 内有一点 P01,2，AB 为过点 P0 且倾斜角为 的弦（1）当 =34 时，求 AB 的长；（2）当弦 AB 被点 P0 平分时，写出直线 AB 的方程 5. 圆心在直线 2xy7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A0,4，B0,2（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 l:kxy+k=0 与圆 C 相切，求实数 k 的值；（3）求圆 C 关于 l1:y=2x+1 对称的圆 6. 已知圆 C 经过不同的三点 Pm,0，Q2,0，R0,1，且 CP 的斜率为 1（1）求圆 C 的方程；（2）过原点 O 作两条互相垂直的直线 l1，l2，l1 交圆 C 于 E，F 两点，l2 交圆 C 于 G，H 两点，求四边形 EGFH 面积的最大值 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知经过原点 O 的直线 l 与圆 C:x2+y24x1=0 交于 A，B 两点（1）若直线 m:ax2y+a+2=0a0 与圆 C 相切，切点为 B，求直线 l 的方程；（2）若圆 C 与 x 轴的正半轴的交点为 D，求 ABD 面积的最大值 8. 已知圆 O：x2+y2=4 与 x 轴负半轴的交点为 A，点 P 在直线 l：3x+ya=0 上，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 T（1）若 a=8，切点 T3,1，求直线 AP 的方程；（2）若 PA=2PT，求实数 a 的取值范围 9. 已知圆 C 与 y 轴相切，圆心在直线 2xy=0 上，且直线 xy=0 被圆 C 截得的弦长为 22（1）求圆 C 的标准方程；（2）已知两定点 A0,1，B0,1，P 为圆 C 上的动点，求 PA2+PB2 的取值范围 10. 已知圆 O:x2+y2=16 及圆内一点 F3,0，过 F 任作一条弦 AB（1）求 AOB 面积的最大值及取得最大值时直线 AB 的方程；（2）若点 M 在 x 轴上，且使得 MF 为 AMB 的一条内角平方线，求点 M 的坐标 11. 已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C:x+12+y2=4 交于 A，B 两点（1）若 AB=15，求直线 l 的方程（2）在 x 轴上是否存在定点 Mx0,0，使得当 l 变动时，总有直线 MA，MB 的斜率之和为 0?若存在，求出 x0 的值；若不存在，说明理由 12. 已知圆 O:x2+y2=4，P 为直线 l:x=4 上的动点（1）若从点 P 到圆 O 的切线长为 23，求点 P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；（2）若点 A2,0，B2,0，直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 M，N，求证：直线 MN 经过定点 1,0 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知经过原点 O 的直线 l 与圆 C：x2+y24x1=0 交于 A，B 两点（1）若直线 m：ax2y+a+2=0a0 与圆 C 相切，切点为 B，求直线 l 的方程；（2）若 OB=2OA，求直线 l 的方程；（3）若圆 C 与 x 轴的正半轴的交点为 D，设直线 l 的斜率 k，令 kt=1，设 ABD 面积为 ft，求 ft 14. 已知圆 O ： x2+y2=4，点 P 为直线 l ： x=4 上的动点.（1）若从点 P 到圆 O 的切线长为 23，求点 P 的坐标以及两条切线所夹劣弧线长；（2）若已知点 A2,0，B2,0，且直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 M，N，求证：直线 MN 经过定点. 15. 已知圆 x2+y2+x6y+m=0 与直线 x+2y3=0 相交于 P 、 Q 两点，O 为坐标原点，是否存在实数 m，使 OPOQ?若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由答案第一部分1. D【解析】因为圆心到直线 y=2x+1 的距离 d=14+1=55，由垂径定理得： 12AB2+d2=R2AB2=4R2d2=4415=765. 所以由余弦定理有 cosAOB=4+4765222=910第二部分2. （1） 设所求直线方程为 y=2x+b，即 2x+yb=0因为直线与圆相切，所以 b22+12=3，得 b=35，所以所求直线方程为 y=2x35（2） 方法一：假设存在这样的点 Bt,0，当 P 为圆 C 与 x 轴的左交点 3,0 时，PBPA=t+32；当 P 为圆 C 与 x 轴的右交点 3,0 时，PBPA=t38，依题意，t+32=t38，解得 t=5（舍去）或 t=95下面证明点 B95,0 对于圆 C 上任一点 P，都有 PBPA 为一常数设 Px,y，则 y2=9x2，所以 PB2PA2=x+952+y2x+52+y2=x2+185x+8125+9x2x2+10x+25+9x2=18255x+1725x+17=925，从而 PBPA=35 为常数方法二：假设存在这样的点 Bt,0，使得 PBPA 为常数 ，则 PB2=2PA2，所以 xt2+y2=2x+52+y2，将 y2=9x2 代入，得 x22xt+t2+9x2=2x2+10x+25+9x2，即 252+tx+342t29=0 对 x3,3 恒成立，所以 52+t=0,342t29=0, 解得 =35,t=95 或 =1,t=5（舍去），所以存在点 B95,0 对于圆 C 上任一点 P，都有 PBPA 为常数 353. （1） 设圆 C：xa2+y2=r2a0，由题意知 3a+732+42=r,a2+3=r, 解得 a=1 或 a=138，又 S=r20,x1+x2=26kk2+1,x1x2=6k2+1.所以平行四边形 OADB 的中心 N 的坐标为 13kk2+1,k+3k2+1，所以直线 OD 的斜率k1=k+313k,而直线 l 的斜率k2=3,由题意可得k+313k=3,解得k=34.又根据 0 可解得k1+263.所以 k=34 不满足题意因此不存在这样的直线 l，使得直线 OD 与 MC 恰好平行4. （1） 当 =34 时，直线 AB 的方程为 y2=x+1x+y1=0，设圆心到直线 AB 的距离为 d，则 d=22，所以 AB=2r2d2=30（2） 当弦 AB 被点 P0 平分时，OP0AB，因为 KOP0=2，所以 KAB=12，故直线 AB 的方程为 y2=12x+1 即 x2y+5=05. （1） 因为圆 C 与 y 轴交于 A0,4，B0,2，所以由垂径定理得圆心在 y=3 这条直线上又因为已知圆心在直线 2xy7=0 上，所以联立 y=3,2xy7=0, 解得 x=2，所以圆心 C 为 2,3，所以半径 r=AC=022+4+32=5, 所求圆 C 的方程为 x22+y+32=5（2） 若直线 l:kxy+k=0 与圆 C 相切，则圆心 2,3 到直线 l 的距离 d，满足 d2=r2，即 3+3k21+k2=5，即 k=9654（3） 设圆心 C 关于 l1:y=2x+1 对称的点为 Ma,b，则有 b32=2a+22+1,b+3a2=12, 解得 a=225,b=15, 所以圆 C 关于 l1:y=2x+1 对称的圆方程为：x+2252+y152=56. （1） 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则点 C 的坐标为 D2,E2，且 PC 的斜率为 1，因为圆 C 经过不同的三点 Pm,0，Q2,0，R0,1，所以有 1+E+F=0,4+2D+F=0,D2=2+m2,E20D2m=1, 解得 D=1,E=5,F=6,m=3, 所以圆 C 的方程为 x2+y2+x+5y6=0（2） 圆心 C12,52，设圆心到 l1，l2 的距离分别为 d1，d2，则 d12+d22=OC2=132，又 EF22+d12=R2，GH22+d22=R2，两式相加，得 EF2+GH2=742EFGH，所以 S四边形EFGH=12EFGH372，即 S四边形EFGHmax=3727. （1） 由圆 C:x2+y24x1=0，得 x22+y2=5，所以圆心坐标为 2,0，半径为 5，直线 m 与圆 C 相切，得 3a+2a2+4=5，化简得：a2+3a4=0，解得 a=1 或 a=4，由于 a0，故 a=1，所以直线 m:x2y+3=0，联立 x2y+3=0,x2+y24x1=0, 解得 x=1,y=2, 故直线 m 与圆相切于点 B1,2，得 l:y=2x（2） 设 A，B 两点的纵坐标分别为 y1，y2，求得圆 C 与 x 轴正半轴交点 D2+5,0，则 SABD=122+5y1+y2=122+5y1y2，设 AB 方程为 x=ty，由 x=ty,x2+y24x1=0 消元得 t2+1y24ty1=0， y1y2=1+t2=20t2+41+t2=25t2+1t2+12，设 m=5t2+1，则 y1y2=225mm2+8m+16=225m+8+16m52，当且仅当 m=4 时取等号，故 ABD 面积最大值为 542+58. （1） 由题意，直线 PT 切于点 T，则 OTPT，又切点 T3,1，所以 kOT=33，kPT=1kOT=3，所以直线 PT 的方程为 y+1=3x3，即 3xy4=0，联立直线 l 和 PT，3xy4=0,3x+y8=0, 解得 x=23，y=2，即 P23,2，所以直线 AP 的斜率为 k=2023+2=312，所以直线 AP 的方程为 y=312x+2，即 31x2y+232=0（2） 设 Px,y，由 PA=2PT，得 x+22+y2=4x2+y24，即 3x2+3y24x20=0，即满足 PA=2PT 的点 P 的轨迹是一个圆 x232+y2=649所以问题可转化为直线 3x+ya=0 与圆 x232+y2=649 有公共点，所以 d=323a32+183，即 233a163，解得 16+233a16+233，所以实数 a 的取值范围是 16+233,16+2339. （1） 由已知可设圆心 Ca,2a，则 r=a圆心到直线 xy=0 的距离 d=a2a2=a2，则 a22+22=a2，解得 a=2，从而所求圆 C 的标准方程为 x22+y42=4 或 x+22+y+42=4（2） 设 Px,y，则 PA2+PB2=x2+y12+x2+y+12=2x2+y2+2，要求 PA2+PB2 的取值范围，只需求 x2+y2 的取值范围，而 x2+y2 的几何意义为圆 C 上的点 Px,y 到原点 O0,0 的距离的平方由圆心 C 到原点 O 的距离 OC=25，知点 Px,y 到原点 O 的距离的最大值、最小值分别为 25+2，252，则 x2+y2 的取值范围为 2485,24+85，故 PA2+PB2 的取值范围为 50165,50+16510. （1） 设 AOB=，则 SAOB=12OAOBsin=1244sin=8sin，当 =2 时，SAOBmax=8，此时 O 到 AB 的距离为 220，故 a=1，由直线 m 与圆 C 相切解得切点 B1,2，得 l：y=2x（2） 取 AB 中点 M，则 AM=12AB，又 OA=13AB，所以 OM=13AM，设：OM=x，圆心到直线 l 的距离为 d，由勾股定理得：x2+d2=4，9x2+d2=5，解得 d2=318，设所求直线的方程为 y=kx，d=2k1+k2，解得 k=31，l：y=31x（3） 如图：设 A，B 两点的纵坐标分别为 y1，y2，易知 D2+5,0，SABD=122+5y1+y2，易知 y1+y2=y1y2，设 AB 方程为 x=ty，由 x=ty,x2+y24x1=0 ， 消元得 t2+1y24ty1=0 y1y2=1+t2=20t2+41+t2=25t2+1t2+12，则 ft=25t2+1t2+12tR14. （1） 根据题意，设两切点为 C，D，则 OCPC，ODPD，由题意可知 PD2=OP2，即 42+t2=22+232，解得 t=0，所以 P 点坐标为 4,0 .在 RtPOC 中，易得 POC=60，所以 DOC=120 .所以两切线所夹劣弧线长为 232=43 .（2） 设 Mx1,y1，Nx2,y2，Q1,0 .依题意，直线 PA 经过点 A2,0，P4,t .所以可以 AP:y=t6x+2 ，将其和圆 x2+y2=4 联立，得到 y=t6x+2,x2+y2=4, 代入消元得到 t2+36x2+4t2x+4t2144=0 因为直线 AP 经过点 A2,0，Mx1,y1，所以 2，x1，是方程的两个根所以有 2x1=4t2144t2+36，x1=722t2t2+36，代入直线方程 y=t6x+2，得 y=t6722t2t2+36+2=24tt2+36 同理，设 BP：y=t2x2，联立方程，有 y=t2x2,x2+y2=4, 代入消元得到 4+t2x24t2