北师大版必修五 2.2 三角形中的几何计算 学案.doc

讲一讲1.如图，已知在四边形abcd中，adcd，ad10，ab14，bda60，bcd135，求bc的长提示在abd中，利用余弦定理求bd，进而考虑在bcd中，运用正弦定理求bc.尝试解答设bdx.在abd中，由余弦定理，得ab2ad2bd22adbdcosadb，即142102x2210xcos 60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍)，即bd16.在bcd中，由正弦定理，得，解之得bcsin 308.对于三角形中的长度计算，可直接应用正弦定理或余弦定理解答，而有关四边形中的长度计算问题，一般则需要构造三角形，转化为解三角形问题，这时需分析所求长度与三角形的哪几个要素有关，往往是正弦定理与余弦定理的综合应用练一练1(安徽高考)设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，且有2sin bcos asin acos ccos asin c.(1)求角a的大小；(2)若b2，c1，d为bc的中点，求ad的长解：(1)法一：由题设知，2sin bcos asin(ac)sin b，因为sin b0，所以cos a.由于0a，故a.法二：由题设可知，2bac，于是b2c2a2bc，所以cos a.由于0a，故a.法二：因为a2b2c22bccos a412213，所以a2c2b2，b.因为bd，ab1，所以ad .讲一讲2.在abc中，bc5，ac4，coscad且adbd，求abc的面积提示先由余弦定理求出cd，再利用正弦定理求出sin c，最后根据sabcbcacsin c求解尝试解答设cdx，则adbd5x，在cad中，由余弦定理可知：coscad.解得x1.在cad中，由正弦定理可知：，sin c4 ，sabcacbcsin c45.所以三角形abc的面积为.求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用练一练2.如图，四边形abcd中，bc120，ab4，bccd2，则该四边形abcd的面积解：连接bd，在bcd中，bccd2，c120，则dbc30，所以bd2.abd90，所以s四边形abcdsbcdsabd22425.讲一讲3.如图所示，是半径为r的圆的一部分，弦ab的长为r，c为上一点，cdab于d，问当点c在什么位置时，acd的面积最大，并求出这个最大面积提示设cad，于是根据正弦定理可建立ac关于的三角函数，进而表示ad，最后利用sacdacadsin ，转化为三角函数求最值尝试解答oaobr，abr.aob是等腰直角三角形，且aob90.acb135.设cad(045)，则abc45.o是abc的外接圆，根据正弦定理得，ac2rsinabc2rsin(45)在rtacd中，adaccos 2rsin(45)cos .sacdacadsin 2rsin(45)2rsin (45)cos sin 2r2sin2(45)sin cos r2sin 2，r2(1sin 2)sin 2(sin 2)2.当sin 2，即15时，sacd取得最大值，故当cad15时，acd的面积最大，最大面积为.在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量，一般是角，通过正弦定理和余弦定理或其他条件，寻求所需边与的关系，从而建立函数关系，转化为三角函数求最值问题加以解决，但求最值时应注意变量的取值范围练一练3.如图所示，点p在直径ab1的半圆上移动，过点p作半圆的切线pt，使pt1，则如何确定p点的位置，才能使得四边形abtp的面积最大？并求出最大值解：连接bp，设pab，由ab为直径得apb90，即apb是直角三角形，由abpt1得：apcos ，bpsin .又pt是圆的切线，故bptpab，s四边形abtpsapbsbptsin cos sin2sin 2(1cos 2)(sin 2cos 2)sin(2)，当2时，即时，smax.如图所示，已知poq60，m是poq内的一点，它到两边的距离分别为ma2，mb11，求om的长巧思因为mbomao，所以o、a、m、b四点都在以om为直径的圆上这个圆就是aom、bom以及abm的外接圆故可利用正弦定理2r(r为三角形外接圆半径)求解妙解连接ab，由已知o，a，m，b四点都在以om为直径的圆上这个圆就是abm的外接圆poq60，amb120.在abm中，ab2ma2mb22mambcos 120221122211147，ab7.由正弦定理得om14.1abc的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()a. b.c. d9解析：选c由余弦定理得：三角形第三边长为3，且第三边所对角的正弦值为 ，所以2rr.2在abc中，a60，ab2，且abc的面积sabc，则边bc的长为()a. b3c. d7解析：选asabcabacsin a，ac1.由余弦定理可得bc2ab2ac22abaccos a41221cos 603.即bc.3四边形abcd中，b105，c90，ab4，bccd，则ad的长为()a. b2c3 d4解析：选b连结bd，在bcd中，bccd，c90，则dbc45，bd2，abd60.所以ad2ab2bd22abbdcos6016424212，则ad2.4半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，则此三角形三边长的乘积等于_解：设abc三边为a，b，c.则sabcacsin b，又由正弦定理得sin b.sabcac，abc4rsabc410.251，所以三角形三边长的乘积为1.答案：15(福建四地六校联考)在abc中，ad为bc边上的中线，且ac2ab2ad4，则bd_.解析：如图所示，设bddcx，因为adbadc180，所以cosadbcosadc，又ac2ad2ab4，由余弦定理得，解得x(x舍去)即bd.答案：6在圆心角为60半径为r的扇形铁板oab中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积解：如图，设pqx，mpy，则矩形面积sxy，连接on，令aon，060，则yrsin 在三角形omn中：由正弦定理得：x2rsin(60)s2r2sin sin (60)r2(sin cos sin2)r2(sin 2cos 2)r2sin (230)故当30时，矩形的面积最大，其最大值是r2.一、选择题1在abc中，a1，b45，sabc2，则abc外接圆的直径为()a4 b6 c5 d6解析：选csabcacsin b1csin 45c，又sabc2，c4.b2a2c22accos 451(4)221425.即b5.所以abc的外接圆直径2r5.2(烟台高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()a b.c d.解析：选b如图等腰abc，设底边为bca，acb，abc，则abc5a，bc4a.bc2a，由余弦定理得：cos a.3e，f是等腰直角abc斜边ab上的三等分点，则tan ecf()a. b. c. d.解析：选d设ac1，则aeeffbab，由余弦定理得cecf，所以cosecf.所以tan ecf.4abc的周长为20，面积为10，a60，则bc的边长等于()a5 b6 c7 d8解析：选c如图，由题意得由(2)得bc40.由(3)得a2b2c2bc(bc)23bc(20a)2340.a7.二、填空题5如图，abc中，abac2，bc2，点d在bc边上，adc45，则ad的长度等于_解析：在abc中，abac2，bc2，cos c.sin c.在adc中，由正弦定理得，ad.答案：6在ab