北师大版必修五 第三章 §2　一元二次不等式 学案.docx

2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法学习目标1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论知识点一 一元二次不等式的概念思考 我们知道，方程x21的一个解是x1，解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立那么什么是不等式x21的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x21的解集吗？答案 能使不等式x21成立的x的值，都是不等式的解，如x2.不等式x21的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于该不等式的解集梳理 (1)形如ax2bxc0(0)或ax2bxc000)的图像ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2rax2bxc0)的解集x|x1x3x.答案 先化为x23x20.方程x23x20的根x11，x22，原不等式的解集为x|x2梳理 解一元二次不等式的步骤(1)化为基本形式ax2bxc0或ax2bxc0)；(2)计算b24ac，以确定一元二次方程ax2bxc0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图像写出不等式的解集1mx25x0，即求横坐标x取哪些值时，函数yax2bxc的图像在x轴上方()3解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是()类型一 一元二次不等式的解法命题角度1 二次项系数大于0例1 求不等式4x24x10的解集考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 因为(4)24410，所以方程4x24x10的解是x1x2，所以原不等式的解集为.反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像跟踪训练1 求不等式2x23x20的解集考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 2x23x20的两解为x1，x22，且a20，不等式2x23x20的解集是.命题角度2 二次项系数小于0例2 解不等式x22x30.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 不等式可化为x22x30.因为(2)24382的解集考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 不等式可化为3x26x20，x11，x21，不等式3x26x2的解集是.命题角度3 含参数的一元二次不等式例3 解关于x的不等式ax2(a1)x10.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法解 当a0时，不等式可化为(x1)0，a0，1，不等式的解集为.当a0时，不等式可化为x10，解集为x|x1当a0时，不等式可化为(x1)0.当0a1时，1，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.当a1时，1，不等式的解集为.综上，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.反思与感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论跟踪训练3 解关于x的不等式(xa)(xa2)0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法解 当a0或a1时，有aa2，此时，不等式的解集为x|axa2；当0a1时，有a2a，此时，不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，原不等式无解综上，当a0或a1时，原不等式的解集为x|axa2；当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，解集为.类型二 “三个二次”间对应关系的应用例4 已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x0的解集考点 “三个二次”的对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值解 由不等式x2axb0的解集为x|1x0，即2x23x10.由2x23x10，解得x1.bx2ax10的解集为.反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数跟踪训练4 已知不等式ax2bx20的解集为x|1x0，且1,2是方程ax2bx20的两实根由根与系数的关系，知解得方法二 把x1,2分别代入方程ax2bx20中，得解得1不等式2x2x10的解集是( )a. bx|x1cx|x0，得(2x1)(x1)0，解得x1或x，不等式的解集为.2若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是( )a1 b2 c3 d4考点 “三个二次”的对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 c解析 由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根7(1)，故a3.3不等式x2x20的解集为 考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法答案 x|2x1解析 由x2x20，得2x1，故其解集为x|2x14解关于x的不等式：x2(1a)xa0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法解 方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a.因为函数yx2(1a)xa的图像开口向上，所以当a1时，原不等式的解集为x|ax1时，原不等式的解集为x|1x0(a0)或ax2bxc0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图像的简图；由图像得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m0，则可得解集为x|xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得x|mxn有口诀如下：大于取两边，小于取中间2解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图像确定解集是r还是.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标一、选择题1不等式6x2x20的解集为( )a. b.c. d.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法答案 a解析 因为6x2x20(2x1)(3x2)0，所以原不等式的解集为.2一元二次方程ax2bxc0的根为2，1，则当a0时，不等式ax2bxc0的解集为( )ax|x2 bx|x1或x2cx|1x2 dx|1x2考点 “三个二次”的对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 d解析 由题意知，1，2，ba，c2a，又a0，不等式ax2bxc0可化为x2x20，1x2.3若0t0的解集是( )a. b.c. d.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 d解析 0t1，t.(tx)0(xt)0tx0，得x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x1，故选b.5不等式2的解集为( )ax|x2 brc dx|x2考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法答案 a解析 x2x10恒成立，原不等式x22x20(x2)20，x2.不等式的解集为x|x26设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是( )a(3,1)(3，)b(3,1)(2，)c(1,1)(3，)d(，3)(1,3)考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法答案 a解析 f(1)124163，当x0时，令x24x63，解得x3或0x1；当x3，解得3xf(1)的解集是(3,1)(3，)7已知一元二次不等式f(x)0的解集为( )ax|xlg 2bx|1xlg 2dx|x0的解集为，即110x，解得xlg 2.8已知f(x)(xa)(xb)2(ab)，且，()是方程f(x)0的两根，则，a，b的大小关系是( )aab babcab dab考点 “三个二次”的对应关系的应用题点 “三个二次”的对应关系的应用答案 a解析 设g(x)(xa)(xb)，则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图像，由图易知ab.二、填空题9不等式1x22x12的解集是 考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式组的解法答案 x|3x2或0x1解析 3x2或0x1.10不等式x23|x|20的解集为 考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法答案 x|2x1或1x2解析 原不等式等价于|x|23|x|20，即1|x|2.当x0时，1x2；当x1，集合ax|x24x30，求ua.考点 一元二次不等式的应用题点 一元二次不等式解集与集合运算解 依题意，ua中的元素应满足即解得uax|x1或x313若不等式ax2bxc0的解集为，求关于x的不等式cx2bxa0的解集考点 “三个二次”的对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值解 由ax2bxc0的解集为，知a0，且关于x的方程ax2bxc0的两个根分别为，2，ba，ca，不等式cx2bxa0可变形为x2xa0.又a0，2x25x30，解得x3，所求不等式的解集为.四、探究与拓展14解不等式|x2|x5|x28x14.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 设f(x)|x2|x5|.当x2时，f(x)3，而x28x14(x4)222，f(x)x28